Modelli matematici e simulazioni: che cosa calcolano su arco, freccia e arciere

Che cosa fa un modello

Un modello è un insieme di equazioni che descrive l'arco, la freccia o il corpo dell'arciere e calcola quello che succede durante il tiro: la curva di trazione, la velocità d'uscita, la flessione dell'asta, la traiettoria, il lavoro dei muscoli. Gli ingressi sono misure o stime, come masse e rigidità; le uscite sono grandezze che spesso nessuno ha misurato. Con un modello si cambia un parametro alla volta, ma il risultato vale quanto le ipotesi. Per questo nel registro le evidenze che vengono solo da un calcolo hanno una casella propria, «modello», non entrano nella quota delle affermazioni con evidenza su arcieri, e un'affermazione sull'attrezzatura che si regge soltanto su modelli resta «trasferita», come quella sullo spine statico e dinamico.

Riprodurre una misura non è prevederla

La distinzione che serve di più, leggendo questi studi, è fra un modello che riproduce una misura e uno che la prevede. Nel primo caso un parametro viene scelto proprio perché il calcolo coincida con l'arco reale, e l'accordo che ne segue è in parte costruito. Il modello di un compound monocamma del 2009 segue da vicino la curva forza-allungo misurata, valle e muro compresi, ma la costante elastica dei flettenti era stata scelta perché la forza massima calcolata coincidesse con quella misurata; anche la velocità d'uscita cadeva entro 0,1 m/s, e l'autore avverte che era un accordo atteso, perché la massa virtuale era ricavata dalle velocità misurate. In una previsione, invece, la misura non entra nel calcolo: le aste in duralluminio da kyudo provate al banco nel 2024 hanno ceduto di punta a circa 50 e 65 newton, e la formula di Eulero, che usa soltanto lunghezza, sezione e materiale dell'asta, dava 46,8 e 62,2, un modello agli elementi finiti 46,7 e 62,0.

Il libbraggio e l'efficienza

Il caso più istruttivo è il modello matematico dell'arco del gruppo olandese di Kooi, nato con una tesi del 1983. Secondo il lavoro del 1997, sulla replica di un arco lungo della Mary Rose il libbraggio previsto cadeva entro l'1% di quello misurato; su un ricurvo moderno in acero e vetroresina, invece, era troppo alto, e il modello è stato riallineato alla misura con un fattore di correzione sulla rigidità dei flettenti. Sull'efficienza lo scarto va sempre nello stesso verso: i modelli con la corda inestensibile prevedevano oltre il 90%, contro il 70-85% misurato, e un'analisi del 1981 con la corda elastica portava il rendimento calcolato di un longbow al 78%, contro il 92% dello stesso arco con la corda inestensibile, e attribuiva la distanza fra teoria e misura all'energia che resta in flettenti e corda quando la freccia si stacca. Sullo stesso ricurvo, anche dopo la correzione, l'efficienza misurata restava qualche punto sotto quella calcolata. Per questo la scheda sulle previsioni del modello dell'arco è «contestata»: la metà sull'efficienza regge, quella sul libbraggio vale per l'arco lungo, mentre su ricurvo e compound il modello va tarato sull'arco che si vuole descrivere.

La stessa cautela serve quando il modello confronta archi che nessuno ha misurato, come nella scheda sulla geometria dei flettenti: nel confronto del 1991 il rendimento va da 0,765 per l'arco dritto a 0,417 per il ricurvo spinto all'estremo, differenze interne al calcolo che nessuna prova sull'attrezzatura ha ancora controllato.

La freccia: soglie calcolate e frecce misurate

Nel 2001 un modello del sistema arco-freccia colloca la perdita di stabilità della freccia a una forza adimensionale di 14,79, contro 9,87 della prova statica di carico di punta, e calcola che per un arco e una freccia medi da targa la spinta di picco valga 12,3, sotto la soglia. Nel 2009 un secondo modello scrive nelle conclusioni che il rilascio è caratterizzato dall'instabilità, ma la freccia con cui lo verifica sta a 5,28. Quando conclusioni e numeri non dicono la stessa cosa il registro segue i numeri. La scheda sull'instabilità a carico di punta è quindi «contraddetta», anche perché una stima del 2015 su un compound reale dà un carico assiale di picco di circa 60 newton contro un carico critico di circa 100.

Il lavoro del 2001 trova anche che due aste con rigidità statica in rapporto 1,38 si comportano al tiro come se il rapporto fosse 1,47, e nel 2012 un altro modello calcola che un'X10 550, più rigida del 4% di una ProTour 570, chiede 175,5 newton di libbraggio per uscire senza rotazione contro 180. Nessuno ha ancora tirato le stesse aste per confrontare la graduatoria statica con quella al tiro. La storia dei modelli del paradosso, controllati sulle riprese ad alta velocità, è nel filone sul paradosso dell'arciere.

Il compound e l'arco giapponese

Sul compound i calcoli del 2010 seguono il percorso del punto d'incocco: su una monocamma lo scostamento dalla retta sarebbe di 21,8 mm senza correzione, mentre con le gole della camma corrette il percorso misurato resta entro 1,5 mm. La rotazione dell'arco nel piano verticale è calcolata e poi controllata con accelerometri sul riser; che non si possa annullare spostando il baricentro è invece un argomento del modello, non una prova fatta spostando pesi.

Sull'arco giapponese, dove i due flettenti si deformano in modo diverso, il confronto con la misura mette più in luce i limiti. Nel 2013 un modello a corpi rigidi con molle torsionali riproduce il flettente superiore, 240 mm misurati contro 230 calcolati, ma non l'inferiore, 180 contro 220. Nel 2019 un modello a grandi deformazioni concorda invece con le misure prese su nove tratti di uno shihan-yumi.

L'aria e la traiettoria

Il calcolo balistico è il modello più vecchio del registro, e nel 1933 l'accordo con i tiri misurati era dichiarato in una frase, senza valori. Il confronto con il punto d'impatto arriva con un preprint del 2015: con un compound su una macchina da tiro, le tacche di mira che portano la freccia al centro, convertite in angolo di lancio, cadono sulla curva di un calcolo con sola gravità e resistenza dell'aria, e la scheda sulla traiettoria è «riportata». Un modello analitico del 2023, in una rivista regionale, mostra quanto contino i parametri d'ingresso: con una freccia a 60 m/s su 70 metri, sbagliare della metà il decadimento della velocità sposta l'impatto di 35-38 cm, e una stima della velocità fuori di 3 m/s lo sposta di 69-80 cm.

I modelli del corpo dell'arciere

Nel 2015 un modello muscoloscheletrico, costruito sulla cattura del movimento di un solo arciere con un arco da 48 libbre, calcola che nessun muscolo della spalla superi un quinto del proprio massimo, e la scheda sul carico della spalla resta «trasferita». I carichi lombari dei tredici studenti universitari dei tre articoli del 2024 e 2025 non sono misurati ma stimati da un programma di ergonomia, a partire dalla postura ricostruita con sensori inerziali: da circa 470 a circa 890 newton di compressione, contro i 3.400 usati come limite di riferimento, con archi da 20 a 32 libbre. La scheda sui carichi lombari vale quindi per archi leggeri e distanze corte.

Che cosa controllare

• quali parametri sono misurati sull'arco o sulla freccia e quali presi dalla letteratura o stimati;
• se un parametro è stato scelto per far coincidere il calcolo con la misura, perché allora l'accordo su quella grandezza non è una previsione;
• con che cosa è confrontato il risultato, e se il confronto ha numeri o soltanto un grafico e una frase;
• quanti archi, frecce e tiri stanno dietro la verifica, che spesso è uno solo;
• se le conclusioni dicono la stessa cosa dei numeri.

Come si pesano disegno e campione è spiegato in Come leggiamo uno studio; che cosa voglia dire lo spine per chi sceglie le frecce, nell'articolo sul paradosso dell'arciere.

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