Archi antichi e modelli matematici: Kooi 1997

Gli autori usano un modello matematico dell'arco per rispondere a una domanda di archeologia: che vantaggio dava, davvero, un arco composito con le estremità rigide rispetto a un arco di legno diritto? La risposta che ottengono è che a parità di libbraggio, di allungo e di massa dei flettenti, con la stessa freccia e la stessa corda, la velocità iniziale cambia poco da un tipo all'altro. Il coefficiente adimensionale proporzionale alla velocità vale 2,01 per un arco piatto alla Klopsteg, 1,92 per l'arco angolare egizio e assiro, 1,94 per l'arco persiano, 1,99 per quello turco da flight, 2,08 per un arco a ricurva eccessiva e 2,09 per il ricurvo moderno usato a suo tempo per validare il modello.

Il motivo sta nel modo in cui i due pregi dell'arco si scambiano fra loro. Gli archi con le estremità ricurve e rigide immagazzinano molta più energia a pieno allungo (il coefficiente statico vale 0,432 per il persiano e 0,491 per il turco, contro 0,407 dell'arco piatto), ma ne trasferiscono alla freccia una quota minore, perché quelle estremità sono pesanti e, alla fine della spinta, frenano in modo brusco e lasciano l'energia nei flettenti e nella corda che vibrano: l'efficienza scende a 0,668 per il persiano e a 0,619 per il turco, contro 0,765 dell'arco piatto. L'arco a ricurva eccessiva porta il caso all'estremo, con un coefficiente statico di 0,810 e un'efficienza di 0,417. Il ricurvo moderno è il solo a tenere insieme le due cose, con 0,434 e 0,770, e dà la velocità più alta, ma con un margine piccolo. Sulla distanza record del flight shooting, quindi, l'arco turco non vince per la forma delle estremità: vince perché corno e tendine immagazzinano molta più energia per unità di massa del legno (circa 1500 e 2500 newton metro per chilogrammo contro i 1100 del tasso), e quindi permettono un arco leggerissimo e molto forte, 690 newton di libbraggio per 350 grammi di flettenti e 1,14 metri di lunghezza nell'esemplare in tabella.

Il modello tratta l'arco come due flettenti elastici uguali, simmetrici rispetto alla linea di mira, separati da un'impugnatura rigida, e li discretizza in elementi rigidi con masse concentrate collegati da cerniere elastiche, con l'equazione di Bernoulli ed Euler per la curvatura e la seconda legge di Newton per il moto. La corda è considerata inestensibile e la sua massa viene ripartita, un terzo con la freccia e due terzi alle estremità dei flettenti, tranne nei casi a ricurva, dove si usano due sole molle. Il calcolo chiede di conoscere tutti i parametri di progetto: lunghezza dei flettenti e dell'impugnatura, forma a riposo, sezione in ogni punto, proprietà elastiche e massa specifica dei materiali, forma e massa delle estremità rigide, brace height, allungo, massa ed elasticità della corda, massa della freccia.

Il confronto si fa con tre coefficienti adimensionali: quello statico, cioè l'energia recuperabile immagazzinata passando dalla posizione in corda al pieno allungo divisa per libbraggio e allungo; l'efficienza, cioè la quota di quell'energia che arriva alla freccia come energia cinetica; e un terzo coefficiente proporzionale alla velocità iniziale. Per rendere onesto il confronto, i sei archi (piatto alla Klopsteg, angolare, persiano, turco, a ricurva eccessiva e ricurvo moderno) sono calcolati a parità di libbraggio, allungo, massa dei flettenti, massa della freccia e massa della corda.

La validazione viene da due lavori precedenti. Il libbraggio calcolato per una replica dei longbow in tasso recuperati dalla Mary Rose, misurata parametro per parametro, coincide con quello misurato entro l'1%. Sul comportamento dinamico il confronto è con le velocità misurate di un arco moderno in acero e vetroresina: lì il libbraggio previsto risultava troppo alto e gli autori hanno introdotto un fattore di correzione sulla rigidezza flessionale dei flettenti, mentre l'efficienza misurata è risultata di qualche punto percentuale inferiore a quella calcolata, cosa che attribuiscono allo smorzamento interno ed esterno, che il modello trascura.

È un calcolo, non una misura. Nessuno ha tirato, e la validazione riguarda due archi, uno statico e uno dinamico, non i quattro tipi storici che poi si confrontano: di quelli si simulano forme di progetto desunte dalla letteratura archeologica e, nel caso del turco, da una descrizione ottocentesca. Il modello trascura lo smorzamento interno dei materiali e quello dell'aria, e nella sola prova dinamica disponibile l'efficienza misurata era di qualche punto sotto a quella calcolata; il libbraggio calcolato era troppo alto e per far quadrare i conti si è introdotto un fattore di correzione sulla rigidezza. Un dettaglio incide sul confronto: il ricurvo moderno in tabella ha una corda rigida circa il doppio di quella degli altri archi, e gli autori lo dichiarano.

L'arco è simmetrico per ipotesi, quindi il modello non descrive gli archi che flettono nell'impugnatura, come molti archi nativi americani, né quello giapponese, che ha l'impugnatura a un terzo e flette in modo asimmetrico. Il confronto a parità di libbraggio, allungo e massa dei flettenti è la scelta che rende possibile il paragone, ma mette da parte proprio quello che distingueva gli archi storici fra loro, cioè quanto libbraggio si potesse ottenere con quanto materiale: è dalla tabella dei materiali, e non dai tre coefficienti, che arriva il vantaggio dell'arco turco. La velocità iniziale calcolata non diventa distanza: la gittata dipende anche dall'angolo di lancio e dalla resistenza dell'aria, che non sono nel modello. Infine il modello non dice nulla sulla precisione, e nemmeno sulla dolcezza del tiro, che gli autori indicano come un criterio importante per il tiro al bersaglio e che ammettono di non saper tradurre in un numero.

Per un arciere di oggi questo studio è soprattutto un antidoto a un modo di ragionare. Il ragionamento è quello che prende una caratteristica dell'attrezzo, per esempio la forma delle estremità o la quantità di energia immagazzinata, e la legge come un vantaggio. Qui il conto mostra che le due qualità dell'arco si pagano a vicenda: immagazzinare più energia richiede flettenti più pesanti, flettenti più pesanti restituiscono una quota minore di quell'energia, e il risultato netto, a parità di tutto il resto, è una velocità quasi uguale fra archi che sembrano appartenere a epoche diverse. Il ricurvo moderno guadagna qualcosa, ma per poco, e il margine arriva dai materiali più che dal disegno.

Da qui si capisce anche perché le prove di attrezzatura non si confrontino se non si tiene fisso tutto il resto. Gli autori possono dire qualcosa sui sei archi solo perché li calcolano a parità di libbraggio, allungo, massa dei flettenti, massa della freccia e massa della corda: cambiando uno di quei termini i numeri si spostano e il confronto cade. Vale per un modello matematico del 1997 come per un confronto fra due flettenti su un campo di tiro oggi. Nel registro la fonte è una simulazione: vale come contesto sull'attrezzatura, non come evidenza su quello che un arciere misura sul bersaglio.