Vibrazioni di arco e freccia: Zaniewski 2009

Un modello matematico delle vibrazioni dell'insieme arco e freccia nel piano verticale, costruito in vista della regolazione dell'altezza del punto d'incocco. L'autore tratta arco e freccia come una catena cinematica: flettenti come travi rigide incernierate al riser con una molla al posto della flessione, corda elastica, freccia come trave di Euler-Bernoulli libera alle due estremità con un oscillatore attaccato alla cocca. Scrive le energie, ricava le equazioni di Lagrange e cerca le frequenze proprie annullando il determinante del sistema, con MathCAD.

Due risultati. Il primo: le frequenze proprie della freccia calano al crescere dell'accelerazione longitudinale, e a certi valori una forma di vibrazione diventa instabile, cioè l'angolo della freccia con l'asse di volo cresce senza tornare indietro. In forma adimensionale la soluzione esatta mette queste soglie a 14,79 e a 56,47; la forma approssimata a tre termini dà 14,56 (errore 1,6%) e 65,68 (16,3%), quella a due termini trova solo la prima, 15,42 (4,3%), e la freccia trattata come asta rigida non coglie nessuna delle due. Il secondo: con l'approssimazione a tre termini l'errore sulle frequenze resta intorno al 2% sia alle accelerazioni basse sia a quelle alte, abbastanza per un calcolo di ingegneria.

Per un arco e una freccia di misura media le prime due frequenze circolari risultano 132,3 e 1730 radianti al secondo; trascurando l'elasticità della corda la prima cambia dello 0,05%, quindi la corda si può considerare inestensibile. L'unico confronto con la realtà è un periodo: per una freccia da 712 mm, il modello dà alla forma a due nodi un periodo di 18,4 millesimi di secondo, e la durata del moto comune di arco e freccia in un filmato ad alta velocità sta fra 18 e 19 millesimi.

L'asimmetria dell'arco nel piano verticale, con la freccia che passa sopra la mano, è stimata nel 3 o 4%, e per questo l'autore la trascura e lavora su uno schema simmetrico, dopo aver dimostrato che le piccole oscillazioni dei due flettenti sono uguali e opposte. Le coordinate generalizzate sono tre: la rotazione del riser, l'oscillazione dei flettenti e lo spostamento della cocca.

La freccia è trattata prima come asta rigida, con una massa virtuale concentrata alla cocca, poi come trave elastica. In questo secondo passo la forma di vibrazione non è ricavata in modo esatto ma costruita a mano, come somma di una funzione lineare e di due sinusoidi, una intera e una mezza; la bontà della scelta si giudica confrontando le frequenze che ne escono con quelle della soluzione esatta pubblicata dallo stesso autore nel 1999, e con tre forme diverse l'autore riporta l'errore caso per caso.

I numeri dell'arco di esempio vengono dai cataloghi dei costruttori: flettenti da 95,3 grammi, braccio virtuale di 434,3 mm, rigidezza del flettente 120,78 Nm, rigidezza di un ramo della corda 14.000 N/m, freccia da 9,1 grammi lunga 700 mm. Per il confronto finale la freccia del filmato è lunga 712 mm, con asta da 14,3 grammi e rigidezza distribuita di 4,76 Nm², e l'accelerazione adimensionale corrispondente è 5,28.

Non c'è nessuna misura. Lo studio è calcolo, e l'unico appoggio ai dati è il confronto fra un periodo calcolato, 18,4 millesimi di secondo, e la durata del moto comune di arco e freccia letta in un filmato ad alta velocità. Quel filmato, nella bibliografia, è un video dimostrativo del 1992 di un costruttore di accessori, non uno studio, e il confronto riguarda un numero solo. Anche l'accelerazione della freccia, data intorno a 600 o 700 volte quella di gravità, è citata da un lavoro precedente dell'autore e non misurata qui.

Lo schema è simmetrico per scelta, i flettenti sono travi rigide con una molla al posto della flessione, e l'arciere non c'è: la mano dell'arco e le dita non entrano nel modello, e l'arco è vincolato a un punto fermo. Il modello si ferma alla spinta della corda e non dice niente di quello che accade dopo la partenza della freccia.

Soprattutto, l'obiettivo dichiarato è la regolazione verticale, cioè l'angolo di attacco nullo della freccia, ma lo studio non arriva a una procedura. Consegna un metodo di calcolo e la constatazione che le forme di vibrazione approssimate bastano, non l'altezza del punto d'incocco per un arco dato. Il lavoro, infine, ha una storia editoriale lunga: ricevuto nel 2005, rivisto nel 2007, pubblicato nel 2009, e la rivista lo ha poi ripubblicato con un secondo DOI, che è quello registrato in questa scheda.

Per chi tira, lo studio non cambia nulla in modo diretto: non dice dove mettere il punto d'incocco né come accordare l'arco. Restano un'idea utile e una messa in guardia.

L'idea è che la freccia, nei millesimi di secondo in cui la corda la spinge, non è una bacchetta rigida ma una trave caricata di punta, e che una trave caricata di punta, oltre un certo carico, si piega e non torna. L'autore calcola proprio quella soglia e mostra che le frequenze proprie della freccia non sono quelle che si misurano a freccia ferma: sotto l'accelerazione della spinta si abbassano. Chi prova le aste appoggiandole e facendole vibrare sta misurando qualcosa di diverso da quello che accade al tiro, ed è lo stesso motivo per cui lo spine statico e lo spine dinamico non coincidono.

La messa in guardia riguarda l'uso dei modelli. Qui un calcolo arriva a un periodo di vibrazione che coincide con la durata del moto comune di arco e freccia vista in un filmato, e quella coincidenza è l'unico appoggio ai dati di tutto il lavoro. Un modello che azzecca un numero non è per questo affidabile su tutti gli altri.