Freccia nel piano laterale con il ricurvo: Park 2012

Un modello matematico della flessione laterale della freccia durante e subito dopo lo scocco di un ricurvo, costruito estendendo il lavoro di Kooi e Sparenberg per tenere conto delle frecce in carbonio di oggi, in cui massa e rigidezza cambiano lungo l'asta. Il modello è stato controllato contro il video ad alta velocità di sedici arcieri di livello mondiale, contro una misura statica di allineamento e contro fotografie della freccia in volo scattate con una macchina lanciafrecce.

I tempi calcolati stanno molto vicini a quelli misurati sugli arcieri: la corda lascia le dita a 1,74 millisecondi contro 1,9 misurati, la freccia si stacca dal bottone elastico a 6,95 contro meno di 8, raggiunge il massimo della prima flessione a 5,2 contro 5,4, torna dritta a 8,4 contro 8,6, tocca il massimo della seconda flessione a 12,9 contro 12,4, lascia la corda a 14,67 contro 14,6 e la cocca supera il bottone a 18,5 contro 18. La frequenza calcolata del primo modo di flessione è 74 Hz, quella del secondo 228 Hz.

La parte più utile riguarda l'accordatura. Cambiare lo spine di una misura richiede circa 11 N di libbraggio in più o in meno per mantenere la freccia senza rotazione, per cui con un dato allungo si accordano una o al massimo due misure. Allungare l'asta di 10 mm, da 705 a 715, abbassa il libbraggio adatto da 164,5 a 160 N. Passare da una punta di 120 grani a una di 100 non cambia quasi nulla (da 164,5 a 165 N), mentre alleggerire le alette da 11 a 3 grani lo porta a 161,5 N. Spostare il centre shot da 0 a +2 mm chiede di passare da 163 a 166 N, e nessuna posizione del bottone risulta migliore delle altre. Un modulo elastico dell'asta più alto dell'1% sposta la freccia di 25 mm a destra a 70 metri. Due frecce di spine nominale vicino ma di tipo diverso non si comportano allo stesso modo: una X10 da 550 chiedeva 175,5 N, una Protour da 570 ne chiedeva 180 pur essendo meno rigida del 4%.

La freccia è trattata come una trave di Eulero-Bernoulli inestensibile con masse distribuite, risolta per differenze finite, ma con due novità rispetto ai modelli precedenti. La prima è che massa per unità di lunghezza e rigidezza possono cambiare lungo l'asta, com'è nelle frecce moderne: nel caso studiato una X10 da 705 mm rastremata alle due estremità, con punta in acciaio da 7,78 g, cocca e perno da 0,78 g, alette da 0,71 g e asta da 12,38 g, per un totale di 21,65 g. La seconda è che il modello segue la freccia anche dopo che ha lasciato l'arco, dove i lavori di Pekalski e di Kooi e Sparenberg si fermavano al tratto dentro l'arco.

Le forze laterali della corda sulle dita sono state misurate invece che stimate a occhio, cosa che l'autore indica come il punto in cui i modelli precedenti erano soggettivi. Il bottone elastico è modellato come una molla che cede solo oltre una forza di soglia, con la sua massa in movimento: nel caso base costante elastica 570 N/m, forza iniziale 3,5 N, corsa 5 mm. La forza longitudinale della corda viene dal modello di arco di Kooi, scalata su altezza di brace, allungo e libbraggio dell'arco in esame. L'arco è assunto senza rotazione ma con una piccola velocità laterale, perché la sua massa è oltre 150 volte quella della freccia e nei video ad alta velocità né lo spostamento né la rotazione erano rilevabili finché la freccia era sulla corda.

Il controllo è stato fatto in tre modi. Primo, confrontando i tempi e le forme calcolate con le medie dei sedici arcieri filmati a 4000 fotogrammi al secondo. Secondo, montando l'arco su una macchina lanciafrecce e misurando dove puntasse la freccia a pieno allungo con il mirino centrato: a 20 metri risultava allineata circa 220 mm a destra, con un'incertezza di 25 mm, contro i 226 mm calcolati. Terzo, fotografando la freccia in volo con un flash comandato da un timer elettronico fatto scattare dal rilascio, per confrontare la sagoma reale con quella prevista. L'arco modellato è quello dell'autore, un Hoyt Nexus con corpo da 635 mm e flettenti 990TX medi, di libbraggio simile a quello delle arciere del gruppo filmato. Ogni parametro di accordatura è stato poi fatto variare uno alla volta, cercando ogni volta il libbraggio che annulla la rotazione angolare della freccia.

È un modello, e nessun arciere è stato misurato qui: i sedici del confronto vengono da un altro articolo dello stesso autore, uscito lo stesso anno sulle stesse riprese. Il controllo quantitativo sui tempi è un confronto di medie, non una verifica caso per caso, e l'unica misura indipendente di posizione, i 220 mm a 20 metri, ha un'incertezza di 25 mm, cioè più del 10%.

I numeri sull'accordatura valgono per un arco e una freccia precisi, quello dell'autore con le X10 da 705 mm, e l'autore stesso avverte che scalare la curva dinamica di un arco diverso introduce un errore, perché quella curva cambia un poco con la massa della freccia. Gli 11 N per cambio di spine, i 4,5 N ogni 10 mm di asta e gli altri valori vanno letti come ordini di grandezza per archi simili, non come una tabella.

Diverse semplificazioni restano dichiarate. L'attrito aerodinamico lungo l'asta non è considerato perché molto minore della spinta della corda. I flettenti sono assunti rigidi lateralmente, e l'autore scrive che l'assunzione andrebbe esaminata. Il percorso della corda sulle dita potrebbe essere modellato più in dettaglio. L'energia laterale che l'arco guadagna è trattata come un semplice spostamento, senza le forze che ne derivano sul retro della freccia. L'autore suggerisce anche di mettere un sensore di pressione sul bottone elastico, perché la sua interazione con la freccia qui è calcolata e non misurata.

Infine, il criterio di accordatura è una scelta del modello: tutto è impostato per annullare la rotazione angolare della freccia all'uscita, accettando un piccolo angolo di attacco residuo, nel caso base di 0,7 gradi. Quella scelta viene da un lavoro precedente dello stesso autore sul volo a valle, non da un confronto di punteggi.

Per chi accorda un ricurvo, la cosa più concreta che esce da questo modello è quanto poco margine ci sia nella scelta dello spine. Un gradino di spine chiede circa 11 N di libbraggio in più o in meno, e un arco si regola di solito entro il 10% del suo libbraggio nominale: con un certo allungo, quindi, le misure di asta che si accordano davvero sono una, al massimo due. L'autore fa notare anche che l'asta più lunga di 10 mm abbassa il libbraggio adatto di circa 4,5 N, il che rende sensato partire con aste un po' lunghe e accorciarle fino a trovare l'accordo.

L'altra indicazione va controcorrente rispetto a un'abitudine diffusa: cambiare il peso della punta da 120 a 100 grani non è uno strumento di accordatura, perché sposta il libbraggio adatto di mezzo newton. Il peso sul retro della freccia conta molto di più, e cambiare tipo di alette ne sposta tre. La punta, secondo l'autore, va scelta per altri motivi, cioè per la deriva nel vento o per la velocità, a seconda del formato di gara.

Sul bottone elastico il modello non trova una posizione ottimale del centre shot, e mostra che un bottone molto morbido riduce un poco l'effetto degli errori di rilascio ma, se è troppo morbido, produce contatti multipli e quindi errori più grandi sul bersaglio. In nessun caso l'accordatura cancella del tutto l'effetto di un rilascio irregolare.

Due note sulla costanza. Il modulo elastico dell'asta più alto dell'1% sposta il punto d'impatto di 25 mm a 70 metri: è il motivo per cui le aste di un set vanno tenute insieme e i lotti non si mischiano. E la torsione dell'arco non cambia l'accordatura, ma sposta la freccia sul bersaglio: con questo arco bastano 0,13 gradi di differenza da una freccia all'altra, cioè circa 1,7 mm di disallineamento della punta rispetto allo stabilizzatore visto dall'arciere a pieno allungo, per perdere una corona a 70 metri.