Deviazione laterale della freccia: Zanevskyy 2001

Venti pagine di meccanica, nessuna freccia tirata. Ihor Zanevskyy, biomeccanico a Leopoli, costruisce un modello dell'insieme arco e freccia che tiene dentro, in un colpo solo, la flessione dell'asta nel piano laterale, le masse concentrate ai suoi due estremi, l'elasticità laterale di corda e flettenti e la massa virtuale dell'arco. Poi lo usa per rispondere alla domanda che l'arciere si fa al banco: quale asta sta bene con questo arco.

La risposta è una condizione di tempi. La freccia deve avere completato quasi un ciclo intero di oscillazione nel momento in cui lascia la corda. Se è troppo rigida oscilla troppo in fretta per girare attorno all'impugnatura; se è troppo morbida la coda flette verso fuori e la colpisce.

L'esempio è un arco da 202 newton con due aste da 660 millimetri. La prima, meno rigida, resta in movimento comune con la corda per 15,5 millisecondi contro un periodo di 18,9: esce a tre quarti di ciclo e la coda sfiora l'impugnatura. La seconda, più rigida, resta 16,2 millisecondi contro un periodo di 15,6: ha chiuso il ciclo e riparte nel primo quarto del successivo, quindi la coda aggira l'impugnatura. La seconda è l'abbinamento giusto, e l'articolo nota che coincide con quello che si vedeva in una pellicola ad alta velocità del 1992 e con le conclusioni di Kooi.

Qui arriva la parte che vale il prezzo del biglietto. La prova statica di carico di punta, quella con la regola secondo cui il libbraggio deve stare due volte e mezza sopra la forza critica dell'asta, sceglie l'altra: la prima freccia dà 2,5 per 84,3, cioè 211 newton, quasi esattamente il peso dell'arco, mentre la seconda dà 290. Il metodo di banco più usato e il modello dinamico indicano aste diverse, e l'articolo spiega perché: nella prova statica lo spine non dipende dalla massa, nel tiro sì.

I conti si ricalcolano. Dalle frequenze adimensionali, dalla rigidezza e dalla massa dell'asta i periodi vengono 18,9 e 15,6 millisecondi, cioè i valori stampati, e il rapporto fra i periodi liberi al quadrato, 1,23, è esattamente il prodotto del rapporto delle masse per quello delle rigidezze.

La freccia è una trave che vibra, trattata con la teoria tecnica della vibrazione delle travi con masse concentrate agli estremi: la punta da un lato, la cocca più la massa virtuale della corda dall'altro. Attaccato alla cocca c'è un oscillatore che rappresenta corda, flettenti e impugnatura con elementi elastici e inerziali concentrati. Il problema è un'equazione differenziale del quarto ordine con condizioni ai bordi, risolta per serie di polinomi con il metodo delle approssimazioni successive, e le frequenze e i modi propri si ricavano come problema agli autovalori.

Una scelta sta alla base di tutto: il movimento longitudinale e quello laterale sono separati, nel senso che la flessione laterale è determinata dal moto longitudinale ma non lo influenza. L'articolo dichiara che l'errore introdotto da questa separazione non supera l'uno per cento dell'energia del sistema.

Il modello è prima esplorato in astratto. Si calcolano le prime quattro frequenze proprie e le forme corrispondenti, e si distinguono i modi che sono oscillazioni periodiche da quelli in cui la flessione cresce in modo monotono, cioè quelli in cui la freccia perde stabilità. Si trova che alzare la forza dell'arco abbassa le frequenze proprie della freccia, e che quando la forza raggiunge un valore critico la frequenza va a zero: a quel punto l'oscillazione periodica si trasforma in una deviazione che cresce sempre nella stessa direzione. Per un insieme arco e freccia la forza critica adimensionale è 14,79, mentre nella prova statica di carico di punta è 9,87, cioè un terzo più bassa.

Poi si scende sui numeri reali. Per gli archi da bersaglio della federazione internazionale: forza a pieno allungo da 121 a 244 newton, rendimento dal 70 all'80 per cento, lunghezza della freccia da 622 a 826 millimetri, massa totale da 16,6 a 23,8 grammi, massa dell'asta da 13 a 17, rigidezza flessionale distribuita da 2,73 a 5,96 newton per metro quadro. Con i valori medi, 180 newton, rendimento 0,75, 700 millimetri, 20 grammi, l'accelerazione media della freccia viene 6750 metri al secondo quadrato e la forza adimensionale 12,3, cioè dentro l'intervallo fra le due forze critiche.

L'esempio finale è la tabella 2, con un arco da 202 newton, allungo 186 millimetri oltre la corda a riposo, altezza della corda 474, rendimento 76 per cento, corda da 6 grammi, massa virtuale laterale 35,3 grammi e rigidezza laterale di corda e flettenti 278 newton al metro. Le due frecce sono lunghe 660 millimetri, con asta di 14,1 e 15,8 grammi, punta di 3,5 e 3,9, coda di 2,8 e 2,9, forza critica di carico di punta di 84,3 e 116,0 newton, freccia alla prova di flessione di 14,3 e 10,0 millimetri e rigidezza di 3,72 e 5,12. Da lì escono velocità di uscita di 62,6 e 59,5 metri al secondo e i tempi che decidono l'abbinamento. Le due aste non sono identificate per marca né per numero di spine.

Non c'è nessuna misura. Non una in tutto l'articolo: il lavoro è teorico e il confronto con la realtà sta in una frase, quella per cui i parametri calcolati mostrano una buona corrispondenza con risultati sperimentali noti ottenuti con l'analisi video. Il riferimento di quei risultati è una pellicola ad alta velocità del 1992, citata come film e non come articolo, senza numeri, senza pagine, senza dati. Il secondo appoggio è il lavoro teorico di Kooi, che a sua volta si confrontava con un solo tiro letto da una figura. Quindi l'unico ancoraggio empirico di questa costruzione non è controllabile da chi legge.

L'esempio è una combinazione: un arco e due aste. Non c'è una serie di spine, non c'è una serie di archi, non c'è una replica, e le due aste non hanno nome: non si sa che marca siano, che numero di spine portino, se siano di alluminio o di carbonio. Un arciere non può quindi collegare il risultato a niente di quello che trova sullo scaffale, e il lettore non può verificare i valori di rigidezza e di forza critica di partenza, che sono il punto da cui esce tutto il resto.

Alcuni parametri sono proprio quelli difficili da misurare, e la loro provenienza non è dichiarata: il rendimento del 76 per cento, la massa virtuale laterale di 35,3 grammi, la rigidezza laterale di corda e flettenti di 278 newton al metro. Sono tre numeri che spostano il risultato e di cui non si legge come siano stati ottenuti per questo arco. Lo stesso vale per la ripartizione dell'energia riportata nel testo, cioè undici per cento nei flettenti, nove nella corda, meno di due nell'aria e meno di tre nell'isteresi: i quattro valori chiudono con il rendimento dichiarato, ma non hanno una fonte.

La conclusione più interessante è anche la meno verificata. L'articolo chiude scrivendo che lo spine dovrebbe essere direttamente proporzionale alla massa della freccia. È una conseguenza dell'algebra, perché il periodo di oscillazione dipende dal rapporto fra massa e rigidezza, e in questi dati si vede bene: il rapporto fra i periodi liberi al quadrato, 1,23, è esattamente il prodotto del rapporto delle masse, 0,892, per quello delle rigidezze, 1,376. Ma è anche un'affermazione che le tabelle dei costruttori non seguono, perché loro indicizzano su libbraggio e lunghezza della freccia e non sulla massa, e l'articolo non la mette alla prova su nessun insieme reale di aste abbinate. Resta una previsione da verificare, non un risultato.

Anche la stima dell'errore di separazione, cioè che dividere il problema longitudinale da quello laterale costi meno dell'uno per cento dell'energia, compare nelle conclusioni e non nei risultati: nel corpo dell'articolo non si trova il conto che la sostiene.

La precisione non c'è. Che la coda che sfiora l'impugnatura provochi un errore nel risultato è scritto come premessa, non misurato: nessun punteggio, nessuna dispersione, nessun confronto fra tiri. Il modello dice dove passa la coda, e il passaggio dalla coda al bersaglio resta un'assunzione.

Una nota sulla notazione, perché fa sbagliare la lettura. Nell'elenco dei simboli `ma` è la massa totale della freccia, mentre nella formula della forza adimensionale `ma` è il prodotto della massa dell'asta per l'accelerazione: usando la massa totale quel numero viene 16,5 e non il 12,3 stampato, usando la massa dell'asta viene 12,4. Non è un errore di conto, è lo stesso simbolo per due cose.

Questo è l'articolo da leggere se si vuole capire perché la prova di spine fatta al banco non basta, e la ragione è una sola: il banco misura una rigidezza, il tiro mette in gioco una rigidezza e una massa insieme.

Il risultato pratico più forte è il disaccordo fra i due metodi sullo stesso arco. Con un arco da 202 newton, la regola classica del carico di punta, per cui il libbraggio deve stare due volte e mezza sopra la forza critica dell'asta, sceglie la freccia più morbida, perché 2,5 per 84,3 fa 211 newton contro i 202 dell'arco, mentre la più rigida darebbe 290. Il modello dinamico sceglie la più rigida, perché è quella che chiude il ciclo di oscillazione prima di uscire dalla corda. Non si può avere ragione in due, e l'articolo mette i tempi in tabella: 16,2 millisecondi di movimento comune contro 15,6 di periodo per la freccia rigida, 15,5 contro 18,9 per l'altra.

Il criterio da portare via è questo, e si tiene a memoria: la freccia deve chiudere un giro di oscillazione mentre è ancora sulla corda. Non mezzo, non tre quarti. Chi esce a tre quarti ha la coda nel posto peggiore quando passa l'impugnatura.

La seconda cosa utile è sapere che cosa pesa e che cosa no. Fra i parametri dell'arco, la rigidezza laterale di corda e flettenti conta più della massa dell'arco per la flessione dell'asta: quindi cambiare corda o flettenti sposta l'accordatura dello spine, mentre aggiungere o togliere peso ai stabilizzatori la sposta molto meno. E alzare il libbraggio abbassa la frequenza propria della freccia, che è un altro modo di dire che spinge verso un'asta più rigida.

La terza, da trattare come ipotesi e non come regola, è che lo spine dovrebbe crescere in proporzione alla massa della freccia. Se la cosa regge, due aste con lo stesso spine dichiarato ma peso diverso non sono intercambiabili, e la più pesante si comporta come se fosse più morbida. Nelle tabelle dei costruttori la massa non entra, quindi è una cosa da verificare sul proprio arco con il tiro fuori paragone, non da dare per buona.

Quello che qui non c'è: un numero da portare al banco. Nessuna asta è identificata per marca o spine, le aste calcolate sono due, l'arco uno, e nessuna freccia è stata tirata.