Vibrazione della freccia in carbonio: Rieckmann 2012

Lo studio mette alla prova due modi di calcolare come vibra una freccia da gara, e li confronta con la misura diretta su tre tipi di asta Easton ProTour, la 380, la 420 e la 470, tutte tagliate a 710 millimetri. Il primo modo di flessione calcolato vale 82,3, 80,3 e 78,4 hertz con il metodo alle differenze finite e 82,7, 81,8 e 77,6 hertz con il modello agli elementi finiti; misurato con il vibrometro laser dà 83,3, 80,2 e 78,3 hertz. L'ordine è quello che l'arciere si aspetta: più l'asta è rigida, più la frequenza è alta, e fra la 380 e la 470 ci sono circa cinque hertz, cioè il 6% circa.

Entrambi i modelli stanno entro il 2% dal valore misurato sul primo modo, meglio del 3% che gli autori si erano dati come obiettivo. Il modello agli elementi finiti arriva fino all'ottavo modo di flessione e tiene il passo anche lì: per la ProTour380, per esempio, calcola 249, 498, 819, 1218, 1700, 2256 e 2875 hertz dal secondo all'ottavo modo, contro i 248, 490, 795, 1185, 1663, 2230 e 2856 misurati, con uno scarto che su questa asta non supera il 3%, mentre sulla ProTour420 il quarto modo calcolato sta il 5% sopra quello misurato. Lo stesso modello mostra che alle basse frequenze il comportamento dell'asta è dominato dalla flessione e che gli altri modi cilindrici, cioè quelli circonferenziali, torsionali e di respiro, contano poco. Sono misurati anche i nodi del primo modo, a 142 e 636 millimetri dalla cocca per la 380, e il fattore di perdita modale, che resta sotto 0,012: con uno smorzamento così piccolo la frequenza di risonanza misurata e la frequenza propria calcolata praticamente coincidono.

Le aste sono quelle usate in gara, un tubo interno di alluminio AL7075-T9 da 3,572 millimetri di diametro esterno e 0,1524 di spessore, rivestito di carbonio ed epossidica, con diametro esterno che cambia lungo l'asta. Il modulo elastico del carbonio non era disponibile dal costruttore e gli autori lo hanno ricavato per via indiretta: hanno riprodotto al calcolatore la prova statica dello spine, cioè la freccia sospesa su due appoggi a 711 millimetri con un peso di 880 grammi al centro, e hanno regolato il modulo finché la deflessione calcolata coincideva con quella di catalogo (per la ProTour380, 9,652 millimetri, cioè 380 millesimi di pollice), arrivando a 222 gigapascal nella direzione delle fibre. Le proprietà nelle altre direzioni sono stimate da materiali analoghi in letteratura. Cocca, alette e punta sono state pesate (1,580 grammi la cocca con le alette, 7,776 grammi la punta) e modellate come masse concentrate con i rispettivi momenti d'inerzia, applicate nei baricentri.

I due modelli sono diversi per ambizione. Il metodo alle differenze finite tratta la freccia come una trave di Euler e Bernoulli in sedici segmenti da 44,375 millimetri, con passi temporali da 25 microsecondi, e calcola solo il primo modo, perché deformare l'asta nella forma dei modi superiori è complicato: l'asta viene flessa come sotto il proprio peso e poi lasciata andare. Il modello agli elementi finiti, costruito in ANSYS Workbench 12.1 con elementi guscio a otto nodi su due strati, 549 divisioni lungo i 710 millimetri, 5490 elementi e 16.490 nodi, calcola in tre dimensioni tutti i modi fino all'ottavo.

La misura è fatta con un vibrometro laser Polytec PSV-400 in configurazione a tre teste, su 25 punti lungo una linea dell'asta. L'asta è sospesa in orizzontale con elastici leggeri posizionati sui nodi del primo modo, per non aggiungere massa né smorzamento, e viene eccitata senza contatto da due sorgenti acustiche: un driver a compressione con uscita da 25 millimetri, buono fra 1 e 4 kilohertz, e un altoparlante da 80 millimetri, migliore per i primi quattro modi fra 50 hertz e 1 kilohertz. Di ciascuno dei tre tipi di asta sono stati preparati e provati tre esemplari.

La freccia è sospesa nel vuoto, senza arco e senza aria in movimento. La condizione di prova, che in meccanica si chiama libero-libero, è quella di un'asta che vibra da sola: non c'è la corda che la spinge, non c'è il bottone che la tocca, non c'è la resistenza dell'aria, e nemmeno la rotazione data dalle alette. Per questo gli autori chiudono l'articolo indicando come sviluppo futuro proprio l'estensione dei modelli al tiro e al volo.

Il valore più delicato è il modulo elastico del carbonio, che non viene da una misura del materiale ma da una taratura: è il numero che fa quadrare il calcolo con la deflessione dichiarata dal costruttore nella prova dello spine. Le proprietà trasversali sono stimate da materiali simili, non misurate, e cocca, alette e punta diventano due masse concentrate; gli autori notano che le piccole discontinuità di spessore e quelle semplificazioni possono spiegare parte dello scarto. Il modello alle differenze finite lavora in due dimensioni e sul solo primo modo, e la forma del modo che calcola si discosta fino al 3% verso la punta, con i nodi spostati di 5 millimetri. Le aste sono tre tipi di un solo modello, nuove e in una sola lunghezza, con una sola punta: niente dice come cambi il quadro con una freccia più corta, una punta più pesante o un'asta danneggiata, che è il caso a cui gli autori dichiarano di voler arrivare. Il costruttore ha fornito le frecce, e la cosa è dichiarata nei ringraziamenti. Infine, l'idea che la prestazione dipenda dalle frequenze di risonanza dell'asta, con cui si apre l'articolo, è ripresa dalla letteratura: qui non si misura nessun punteggio e nessuna dispersione.

Il dato che conta per chi accorda è la distanza fra una misura di spine e l'altra. Tre aste dello stesso modello, tagliate alla stessa lunghezza, con la stessa cocca, le stesse alette e la stessa punta, vibrano a 83,3, 80,2 e 78,3 hertz: fra la 380 e la 470, che nelle tabelle del costruttore sono due gradini ben distinti, ci sono cinque hertz, e fra due misure vicine ce ne sono due o tre. È una grandezza piccola, e dice perché il comportamento della freccia all'uscita cambi in modo graduale e non a scatti quando si passa di uno spine.

L'altra cosa utile è che il calcolo funziona. Se il primo modo di flessione si può prevedere entro il 2% a partire dalle quote dell'asta e dai pesi dei componenti, allora il confronto fra due configurazioni si può fare a tavolino, senza montare le frecce: è lo scopo che gli autori dichiarano, cioè sostituire con il calcolo una parte delle prove per tentativi davanti al bersaglio. Due avvertenze restano. La prima è che qui la freccia vibra libera e non vola: i numeri descrivono l'asta, non il tiro, e lo spine dinamico sull'arco dipende anche dal bottone, dalla corda e dalla punta. La seconda è che nessuna parte di questo studio misura la precisione: una previsione più accurata della frequenza non è, da sola, una previsione del punteggio.