Il paradosso dell'arciere: la fisica della freccia che si piega

In piena trazione la freccia non punta al centro del bersaglio, eppure ci arriva. Su un arco senza finestra centrata, come molti archi tradizionali, l'asta appoggia di lato all'impugnatura e il suo asse passa a lato del centro; su un ricurvo moderno l'angolo è piccolo, ma la freccia continua a non partire nella direzione in cui punta. È il paradosso dell'arciere, e la spiegazione sta in un fatto che oggi è misurato bene: uscendo dall'arco la freccia si flette, e il modo in cui si flette dipende, oltre che dall'arco e dal rilascio, dal suo spine.

Le misure più solide vengono dalle riprese a 4.000 fotogrammi al secondo di sedici ricurvisti di livello mondiale. La corda, scivolando via dalle dita, porta la cocca verso il corpo dell'arciere, in media di 13 millimetri; poi l'asta si raddrizza, si piega dalla parte opposta, si stacca dal bottone entro 8 millesimi di secondo e lascia la corda poco meno di 15 millesimi dopo l'inizio del rilascio. Supera il riser solo dopo, quando non appoggia più su niente. Nell'unica prova che ha confrontato i due rilasci sulle stesse frecce, con uno sgancio meccanico la freccia si fletteva meno di un quinto di quanto nei tiri di due arcieri con le dita, ma si fletteva comunque. Come si è arrivati a questo quadro, dal primo accelerometro montato su un arco nel 1987 ai modelli di oggi, lo racconto nella pagina sul paradosso dell'arciere nella ricerca; qui guardo a che cosa servono quelle misure a chi deve scegliere e accordare una freccia.

Cos'è il paradosso

Il problema nasce dalla geometria. La freccia deve passare di fianco all'arco, quindi a pieno allungo il suo asse non coincide con la linea che va al centro del bersaglio: se volasse rigida nella direzione in cui punta, finirebbe a lato. Invece arriva al centro, ed è questa contraddizione apparente ad aver dato al fenomeno il nome di paradosso.

Su un ricurvo moderno, con mirino e bottone regolati, il disallineamento è piccolo ma si misura. Con l'arco montato su una macchina lanciafrecce e il mirino centrato su un bersaglio a 20 metri, la freccia in trazione risultava allineata circa 220 millimetri a destra del centro, contro i 226 previsti dal calcolo: uscendo dall'arco il suo baricentro prende una piccola velocità laterale verso sinistra, per un arco da destro, e la freccia arriva dove non puntava. Per il compound un modello arriva alla stessa conclusione, cioè che per un arciere destro a pieno allungo la freccia va allineata un poco a destra del centro, anche con il rest a offset laterale zero. Lì però è soltanto un calcolo, controllato a occhio sul bersaglio e senza dire di quanto sia lo spostamento, e nel registro l'affermazione è trasferita.

Scorri la figura→

Che cosa fa la freccia nei primi millesimi di secondo

La sequenza meglio documentata è quella dei sedici ricurvisti di livello mondiale, otto uomini e otto donne, filmati dall'alto durante l'evento di prova dei Giochi di Londra. Quando l'arciere rilassa le dita la corda non parte dritta: scorre sui polpastrelli, si sposta di lato e porta con sé la cocca verso il corpo. Lo spostamento massimo arriva in media dopo 5,4 millesimi di secondo e vale 13,1 millimetri, da 9 a 20 a seconda dell'arciere. In quel momento l'asta è piegata ad arco, con la parte centrale premuta contro il bottone; subito dopo comincia a raddrizzarsi e se ne stacca, in tutti e sedici entro 8 millesimi, è dritta intorno agli 8,6 e poi si piega dalla parte opposta. La cocca lascia la corda in media a 14,7 millesimi, con l'asta ancora piegata in questo secondo verso.

Le dita danno l'avvio, ma la flessione non nasce da loro. Con l'arco fissato su una macchina, senza nessuna mano sulla corda, quattro tipi di freccia si flettono comunque di lato, fra 4,6 e 5,5 millimetri misurati da 80 centimetri dall'arco in poi, e già le riprese di un'arciera della nazionale polacca, vent'anni prima, mostravano la stessa forma con l'arciera e con una macchina lanciafrecce. Per questo nel registro l'affermazione che la freccia si flette e aggira il riser è corroborata. A spingere l'asta di lato è il modo in cui la forza le arriva: la corda la spinge dalla cocca, la parte anteriore è trattenuta di fianco dal bottone, e la punta, che è la parte più pesante, per inerzia è la più lenta a mettersi in moto.

La spinta lungo l'asta, a sua volta, accentua la flessione. Gli ingegneri parlano di carico di punta, e sul campo si sente dire che una freccia troppo morbida, compressa così, ceda di lato come una colonna caricata. Nei calcoli che ci sono non succede: l'unica stima su attrezzatura reale, un compound con una freccia spine 500, dà un carico assiale di picco di circa 60 newton contro un carico critico di circa 100, e anche nel modello di un arco medio da targa la spinta resta sotto la soglia. Nel registro l'idea che la freccia entri in instabilità durante il lancio è quindi contraddetta, ma da un'evidenza scarsa e indiretta: il margine si riduce con più libbraggio, più peso in punta, aste più lunghe o più morbide, e nessuno ha strumentato una freccia in un tiro vicino al limite.

Quanto conti il modo di aprire le dita l'ha provato un robot da tiro giapponese con un ricurvo da gara e dita motorizzate. Gli autori si aspettavano che un'apertura più rapida facesse flettere di più la freccia, e non è andata così: con il motore a 30, 90 e 150 giri al minuto la flessione massima era di 7,07, 7,44 e 7,23 millimetri, con il picco alla velocità intermedia, e aprendo le dita solo fino al punto in cui la corda scivola via scendeva a 6,94, a otto centesimi di millimetro dall'arciera usata come riferimento. Le differenze sono di pochi decimi di millimetro, su una macchina e senza un test statistico, perciò che la flessione non cresca in proporzione alla velocità delle dita è un risultato riportato e niente di più. La frequenza con cui l'asta vibrava, invece, non cambiava in nessuna condizione.

Quanto alla forma, è quasi sempre quella di un arco semplice che cambia verso, cioè la prima flessione dell'asta. Nelle riprese dei sedici arcieri si vede spesso anche una piccola componente di secondo modo, che dà all'asta una leggera forma a S soprattutto all'inizio della spinta, mentre dopo l'uscita dall'arco domina la prima. In laboratorio il secondo modo è stato misurato a circa tre volte la frequenza del primo, 241 hertz contro 80,2; che la freccia vibri anche su modi più alti è riportato da un solo gruppo di ricerca, e quanto pesi nel tiro non è stato misurato.

Scorri la figura→

Il passaggio accanto al riser

La domanda pratica, per chi accorda, è se la freccia tocchi l'arco passando. Nelle stesse riprese il punto in cui l'asta passa più vicino al bottone non è la coda. Nell'arciere di cui gli autori mostrano la sequenza completa la cocca si stacca dalla corda a 14,5 millesimi di secondo, la distanza minima fra asta e bottone arriva un millesimo dopo, a circa 150 millimetri dalla cocca, e la cocca supera il bottone solo a 18 millesimi, con spazio abbondante anche per le alette. Il passaggio avviene quindi quando la freccia ha già lasciato la corda. In quel momento la freccia ha appena cominciato a ruotare sul proprio asse, per cui le alette passano orientate come erano a pieno allungo, ed è per questo che l'orientamento della cocca si sceglie in modo da lasciare loro più spazio possibile.

Lo spazio, però, non è uguale per tutti. Fra i sedici arcieri la luce con cui la coda supera il bottone andava da circa 2 a 25 millimetri e seguiva il rapporto fra le due flessioni della freccia, che gli autori collegano a come la mano dell'arco torce l'impugnatura: nove arcieri che non sembravano torcere l'arco passavano con 8-10 millimetri, cinque con 2-5. La torsione è stimata dalle immagini e non misurata, e lo studio è uno, quindi l'affermazione è riportata; fa pensare, però, che la luce al riser dipenda dalla mano oltre che dalla freccia.

Perché l'asta passi pulita, due modelli dello stesso autore, a otto anni di distanza, danno la stessa condizione: deve compiere un ciclo intero di vibrazione mentre è ancora sulla corda. Nell'esempio del primo, con un moderno arco da gara, l'asta più rigida resta sulla corda 16,2 millesimi contro un periodo di vibrazione di 15,6 e passa senza toccare; la più morbida ci resta 15,5 millesimi contro un periodo di 18,9, esce dopo tre quarti di ciclo e sfiora l'impugnatura con la coda. È qui che lo spine entra nel paradosso, perché decide il periodo con cui l'asta vibra e quindi se il ciclo si chiude in tempo.

Un modello del 1998 aggiunge il momento ideale del distacco: la corda dovrebbe liberare la freccia quando la cocca riattraversa il piano mediano dell'arco, perché in quell'istante la corda non la spinge più di lato. Nelle riprese dei sedici arcieri d'élite, però, solo quattro avevano la cocca che lasciava la corda sul piano mediano o molto vicino; negli altri il punto di distacco si sparpagliava, con una deviazione standard di 4,9 millimetri e un caso a 15. La differenza si vedeva anche dopo: quando il distacco avveniva lontano dal piano la corda continuava a oscillare di lato, nel caso più vicino al piano si fermava quasi subito. Che solo una minoranza di arcieri d'élite si stacchi sul piano mediano viene da questo solo studio, e nessuno ha mostrato che staccarsi lì porti a gruppi più stretti o a punteggi più alti.

In volo: la freccia vibra e ondeggia

Uscita dall'arco, la freccia fa due movimenti diversi, che sul campo si confondono spesso. Il primo è la vibrazione dell'asta, la stessa flessione di prima che continua. Nelle riprese dei sedici arcieri la prima flessione in volo libero stava fra 80 e 105 hertz, con tredici frecce su sedici fra 80 e 87, e in un'asta da gara i due punti fermi di questa flessione cadono a circa un quinto della lunghezza dalla cocca e a 7 centimetri dalla punta. A parità di serie l'asta più rigida vibra più in fretta: tre ProTour, dalla 470 alla 380, vibrano a 74, 77 e 80 hertz in una misura e a 78,3, 80,2 e 83,3 in un'altra dello stesso gruppo di ricerca. Le aste più rigide però pesano anche di più, e il passo da uno spine al successivo vale due o tre hertz: che uno spine più rigido vibri a una frequenza più alta è riportato, e come criterio per scegliere l'asta la frequenza non è mai stata provata.

Questa vibrazione si spegne poco. Lo smorzamento proprio dell'asta, misurato in due laboratori diversi, è piccolo: mettendo in risonanza una freccia in carbonio a 84,8 hertz il tempo di smorzamento viene di circa un secondo e mezzo, più lungo del volo alle distanze di gara. Che la freccia arrivi al bersaglio ancora vibrando è però una deduzione, perché il conto lascia fuori l'aria, e quanto la vibrazione residua sposti il punto d'impatto non è stato misurato.

Il secondo movimento è l'ondeggiamento di tutta la freccia attorno al baricentro, ed è quello che spegne l'impennaggio. Il centro di pressione sta dietro, verso le alette, e appena l'asta è inclinata rispetto all'aria nasce un momento che la riporta in asse e la fa oscillare. Le prove con la carta a più distanze, su frecce tirate da un compound montato su una macchina, trovano un ciclo ogni 19-22 metri e un'oscillazione che si smorza in circa 26; nelle simulazioni del ricurvo il ciclo è di 14-18 metri, e l'ondeggiamento della traiettoria si vede nei primi venti metri su settanta. Gli angoli sono piccoli, fra un quarto e mezzo grado in aria ferma. Quanto in fretta la freccia si raddrizzi dipende anche dalle alette: tre laboratori diversi trovano che il tipo di aletta lo cambia, e nel confronto più ampio, fatto in galleria del vento su un modello di freccia, l'aletta più diffusa lo riporta da 45 gradi di inclinazione a zero in 0,934 secondi, contro 1,283 di un'aletta media.

Scorri la figura→

Che la flessione sia soltanto un difetto da contenere, poi, non è detto. Un laboratorio giapponese ha lanciato le stesse frecce in quattro modi, con due arcieri esperti di ricurvo, con un robot a dita meccaniche, con uno sgancio meccanico e con un lanciatore ad aria compressa che non le fa flettere, e ne ha ricavato la resistenza dell'aria tiro per tiro. Alla velocità a cui tirano gli arcieri la resistenza media non cambiava in modo apprezzabile, la sua dispersione sì: la deviazione standard del coefficiente di resistenza era 0,073 con gli arcieri, 0,103 con le dita meccaniche, 0,119 con lo sgancio e 0,267 con l'aria compressa. Gli autori ne deducono che una flessione dell'ampiezza giusta rende turbolento lo strato d'aria attorno all'asta, e con esso più ripetibile la resistenza. È un esperimento solo, con pochi lanci per condizione e senza statistica sulle differenze: che la freccia tirata da un arciere abbia una resistenza più costante è riportato, e se questo si traduca in un gruppo più stretto sul bersaglio non è stato verificato.

Lo spine: il numero che governa la flessione

Se la flessione è il cuore del paradosso, lo spine è il numero con cui la si sceglie. È la rigidità dell'asta, cioè quanto resiste a piegarsi, e insieme alla lunghezza è il primo dato da guardare quando si cambia freccia.

Lo spine statico si misura su un banco: si appoggia l'asta su due sostegni, si appende un peso al centro e si guarda di quanto si abbassa. Nella norma ASTM usata oggi per le frecce in carbonio e alluminio la campata è di 28 pollici, 711 millimetri, il peso è di 1,94 libbre, circa 880 grammi, e il numero di spine è la flessione in millesimi di pollice. Una ProTour 380, per esempio, cede 9,65 millimetri, cioè 380 millesimi di pollice.

Il verso del numero confonde spesso chi comincia. Dato che il valore è la flessione stessa, più l'asta si piega più il numero è alto: una freccia da 500 è più morbida di una da 400, e il numero grande indica lo spine debole.

Scorri la figura→

Statico e dinamico: perché la stessa freccia cambia

Lo spine statico si misura con la freccia ferma, ma al tiro l'asta è spinta dalla corda, compressa e trattenuta dal bottone, e quello che conta è come si piega in quelle condizioni, ciò che sul campo si chiama spine dinamico. Che la misura da fermo non basti a prevedere il comportamento al tiro lo dicono in modo coerente tre modelli in venticinque anni. Nel primo la prova statica dà forze critiche di un terzo più basse di quelle che la freccia incontra sulla corda, e la regola classica che lega il libbraggio alla forza critica statica sceglie l'asta che l'analisi dinamica scarta, perché nella prova statica la massa della freccia non entra. Nel secondo un'X10 550, più rigida del 4 per cento di una ProTour 570, chiede meno libbraggio per uscire pulita, perché le due aste hanno profili di rigidità diversi lungo l'asta: aste dello stesso spine nominale ma di modello diverso non vanno date per equivalenti. Nessuno ha ancora tirato le stesse aste per confrontare la graduatoria statica con quella al tiro, perciò nel registro l'affermazione è trasferita e si regge sui modelli.

Gli stessi calcoli spiegano perché due arcieri possano prendere la stessa asta dallo scaffale e aver bisogno di frecce diverse. Che lo spine vada accordato al libbraggio e alla lunghezza della freccia regge in tutti i modelli che l'hanno studiato, ognuno arrivato per una strada diversa, e i loro numeri danno un'idea di quanto sia stretta la finestra. I fattori in gioco sono quattro.

1. Libbraggio dell'arco

   Più l'arco è potente, più la freccia flette, e la stessa asta si comporta come più morbida. In un modello del ricurvo da gara passare a uno spine adiacente chiede circa 11 newton di libbraggio, due libbre e mezza, mentre un arco si regola solo entro circa il 10 per cento del suo nominale: a un dato allungo, quindi, le aste che si lasciano accordare bene sono una o due.

2. Lunghezza della freccia

   A parità del resto un'asta più lunga flette di più: nello stesso modello dieci millimetri di asta in più valgono circa quattro newton e mezzo di libbraggio in meno. Siccome un'asta si accorcia ma non si allunga, quando si è incerti conviene partire un po' lunghi e tagliare dopo le prove.

3. Peso della punta

   Una punta più pesante fa comportare la freccia come più morbida, ed è la leva più usata sul campo per l'accordatura fine. L'unico modello che l'ha calcolata trova però che sposti poco: da 120 a 100 grani vale mezzo newton di libbraggio, contro i tre newton di alette passate da 11 a 3 grani. Che conti più il peso in coda resta un risultato del solo modello, mai verificato al banco o sul bersaglio.

4. Tipo di rilascio

   Con le dita la corda scivola di lato sui polpastrelli, con lo sgancio meccanico quasi no, e la freccia si flette molto meno, come si vede più avanti. È il motivo per cui ricurvo e compound si accordano in modo diverso.

Il senso pratico è che una freccia è adatta solo rispetto al sistema in cui la usi. Se cambi le libbre, la punta o la lunghezza cambi anche il suo comportamento al tiro, pur avendo in mano la stessa asta, e un ritocco all'attrezzatura che sembrava innocuo può spostare il gruppo senza che tu abbia toccato la tecnica.

Quando lo spine non è adatto: leggere le frecce

Il punto di partenza sono le tabelle dei produttori, che incrociano libbraggio e lunghezza. Nelle riprese dei sedici arcieri d'élite lo spine era in tutti i casi quello che le tabelle del produttore prevedevano per il loro libbraggio e la loro lunghezza, ma con ogni probabilità le aste erano state scelte proprio lì: il dato dice che i migliori le seguono, non che le tabelle indichino l'asta migliore. Un modello del 2025, non ancora verificato con tiri, le ricostruisce nel complesso ma le trova troppo rigide, fino a quattro misure, per le frecce lunghe e i libbraggi bassi, e nota che avanzano a passi di un pollice mentre in molte righe mezzo pollice di freccia cambia già l'asta consigliata.

Dalla tabella si rifinisce sul campo. Il modo classico è il bare shaft test, il test dell'asta spoglia: si tirano alla stessa distanza alcune frecce impennate e alcune senza alette, e si guarda dove cade un gruppo rispetto all'altro. Senza l'impennaggio a raddrizzarla in volo, la freccia mostra l'errore di spine che le alette altrimenti coprirebbero.

La direzione va letta con attenzione, perché cambia con la mano e con il tipo di rilascio. Per un arciere destro che tira con le dita la regola che si usa nella messa a punto è questa: se l'asta spoglia cade a sinistra del gruppo impennato la freccia è troppo rigida, cioè non flette abbastanza; se cade a destra è troppo morbida. Per un mancino le direzioni si invertono. Sul ricurvo entra in gioco anche il bottone, il plunger, che con la sua molla e la sua posizione regola proprio questo comportamento. Quando il difetto è abbastanza grosso lo si vede anche a occhio, in volo: si chiama fishtailing. Un segnale in più viene dall'arco dopo il rilascio: nel tiro in cui la freccia si staccava più vicino al piano mediano la corda si fermava quasi subito, e secondo gli autori delle riprese, con l'arco regolato così, chi tira dovrebbe accorgersene da un arco più silenzioso e da una sensazione diversa.

• Troppo rigida

  Numero di spine basso per il tuo arco

  Non flette abbastanza. Per un destro con le dita, l'asta spoglia cade a sinistra del gruppo.

  Per ammorbidirla: punta più pesante, freccia un filo più lunga, oppure qualche libbra in più sull'arco.

• Troppo morbida

  Numero di spine alto per il tuo arco

  Flette troppo. Per un destro con le dita, l'asta spoglia cade a destra del gruppo.

  Per irrigidirla: punta più leggera, freccia un filo più corta, oppure qualche libbra in meno.

• Accordata

  Spine adatto al sistema

  L'asta spoglia cade insieme alle impennate, o molto vicino.

  È la condizione da cui partire per tutte le altre regolazioni.

Le correzioni lavorano tutte sul comportamento al tiro e non sull'asta in quanto tale, e si fanno a piccoli passi: una modifica alla volta, con una prova dopo ognuna. Cambiare tre cose insieme e sperare che il gruppo migliori è il modo più sicuro per perdersi, perché non si saprà mai quale delle tre ha fatto la differenza. C'è però un limite da tenere presente: i modelli mostrano un'asta troppo morbida che finisce contro il bottone o tocca l'arco con le alette, ma il raggruppamento di arcieri con uno spine adatto e con uno non adatto non è mai stato confrontato.

Archi moderni: il paradosso si riduce, non sparisce

Il paradosso nasce con gli archi in cui la freccia deve passare di fianco all'impugnatura, e gli archi moderni l'hanno ridotto in due modi. Il primo è il riser center-shot: la finestra è scavata fino al centro o oltre, così la freccia sta vicinissima al piano dell'arco e l'angolo con cui parte si riduce. Il secondo è lo sgancio meccanico, che toglie lo scivolamento della corda sulle dita. Sulle stesse frecce, con un ricurvo montato su un robot, uno sgancio meccanico dà una flessione di 1,22 millimetri appena fuori dall'arco, due arcieri di livello nazionale giapponese 6,86 e un meccanismo che imita le dita 14,8. Che con lo sgancio la freccia si fletta molto meno è riportato da questa sola prova, con due arcieri e 72 tiri in tutto, che non dice dove finissero le frecce.

Sul compound il quadro va nella stessa direzione. Un modello controllato con fotografie su un compound a camma singola montato su una macchina trova una flessione massima di pochi millimetri prima che la freccia lasci la corda, contro i 10-15 che lo stesso autore si aspetta con il ricurvo, e la freccia entra nell'aria quasi allineata, con un angolo di pochi decimi di grado. Che con il compound la freccia si fletta meno resta però trasferito, perché il confronto con il ricurvo non è fatto nella stessa prova e l'allineamento dipende dalla messa a punto, dalle camme e da quanto l'arciere torce l'arco; anni dopo lo stesso autore scrive che fra i compound le differenze di progetto rendono difficile dare una regola generale.

Ridotto non vuol dire sparito: anche con lo sgancio la freccia si flette, e lo spine continua a contare, ma con più margine. Sullo stesso compound la freccia consigliata, una ProTour 470, e due misure più rigide, 420 e 380, tirate da una macchina a 35 metri stavano tutte in gruppi piccoli e simili, ben dentro un cerchio di 40 millimetri, cambiando solo la taratura del mirino. Che con il compound e lo sgancio frecce più rigide del consigliato raggruppino come quella consigliata è riportato da questo solo lavoro, con un arco, un modello d'asta e la macchina al posto dell'arciere, e che il ricurvo sia meno tollerante l'autore lo deduce senza misurarlo. La flessione che lo sgancio toglie, del resto, non è soltanto un guadagno: nell'esperimento giapponese citato sopra la resistenza dell'aria era meno ripetibile con lo sgancio che con gli arcieri.

Cosa te ne fai, in pratica

Quando le frecce partono di lato senza un motivo evidente, prima di cercare l'errore nella tecnica conviene controllare che lo spine sia adatto all'attrezzatura di oggi. Si parte dalla tabella del produttore o da un calcolatore di spine, in cui si inseriscono libbraggio, allungo e peso della punta, e da lì si rifinisce con il bare shaft test e con il bottone, una modifica alla volta. Come si mette in fila tutta la messa a punto lo spiego nell'articolo sul bow tuning.

Vale anche al contrario: ogni volta che cambi qualcosa di importante, le libbre dell'arco, il peso della punta o la lunghezza della freccia, cambia anche il modo in cui la freccia si piega al tiro. Quella che andava bene sei mesi fa può non andare più se nel frattempo hai alzato il libbraggio, e siccome a un dato allungo le aste che si accordano bene sono una o due, conviene ricontrollarla dopo ogni cambio importante.

@misc{campagna2026_paradossoarcierespinefreccia,
  author = {Campagna, Matteo},
  title = {Il paradosso dell'arciere: la fisica della freccia che si piega},
  year = {2026},
  howpublished = {matteocampagna.com},
  url = {https://matteocampagna.com/articoli/paradosso-arciere-spine-freccia},
  note = {consultato il 2026-10-16}
}