La fisica di arco e freccia: studio Meyer 2015

Un fisico dell'Università dell'Indiana prende un compound e una freccia e misura tutto quello che si può misurare con strumenti da garage: pesa le parti, piega l'asta, fa vibrare la freccia con un magnete, tira la corda a passi fotografando ogni passo, cronometra l'uscita, registra il rumore del tiro con due microfoni per sapere quanto la freccia rallenta.

La freccia è una Easton LSR 500: lunga 0,696 metri, 20,62 grammi, raggio dell'asta 3,63 millimetri con parete di 0,50, centro di massa a 0,414 metri dalla cocca, FOC 0,093. Misurandone la rigidezza (5,17 newton per metro quadro) ne ricava lo spine secondo la definizione dell'Archery Trade Association: 492, vicino al 500 dichiarato dal produttore. Dieci frecce dello stesso tipo, fatte rotolare su due appoggi, deviavano dalla linea dritta fra 10 e 100 micrometri, in media 55. Fatta vibrare, la freccia risuona a 84,8 hertz, con i nodi a 0,125 e 0,630 metri e un fattore di qualità di 400: l'oscillazione si smorza in circa 1,5 secondi, più del tempo di volo nel tiro di campagna, quindi quando la freccia arriva nel bersaglio sta ancora oscillando.

L'arco è un Hoyt Contender, con brace height di 0,185 metri, trazione di 0,481, forza massima intorno ai 200 newton e let-off di circa il 65 per cento. L'arciere gli consegna 73,7 joule, l'arco ne restituisce 71,0 (il resto se ne va negli attriti interni e nelle camme) e la freccia ne riceve 57,1: l'efficienza è 0,80, e la differenza corrisponde a una massa virtuale dell'arco di circa 5 grammi, di cui la corda e il servaggio spiegano quasi la metà. L'accelerazione dura circa 13 millesimi di secondo e vale circa mille volte la gravità; il carico assiale che schiaccia la freccia in quel tratto, circa 60 newton, è poco più di metà del carico critico di instabilità calcolato con la formula di Euler, circa 100 newton.

La freccia esce a 74,5 metri al secondo e perde velocità con un tasso di 2,31 millesimi per metro, che corrisponde a un coefficiente di resistenza di 1,94. Da qui il risultato che interessa di più a chi va in gara: a 70 metri, un errore di 1 metro nella distanza sposta il punto d'impatto di circa 7 centimetri in verticale, 1 metro al secondo di velocità in più lo alza di circa 13 centimetri, e un cambio del 20 per cento nella resistenza aerodinamica lo sposta di circa 7 centimetri.

Ogni misura è descritta in modo da poter essere rifatta. La rigidezza dell'asta si ottiene appoggiandola su due lame a 0,550 metri di distanza, appendendo pesi noti al centro e leggendo la freccia di inflessione con un comparatore: lo spostamento cresce in proporzione alla forza, come previsto dalla teoria delle travi, e la rigidezza esce dalla pendenza. Lo spine dell'Archery Trade Association è lo stesso numero in altre unità, e l'autore ne dà la conversione: 2544 diviso la rigidezza in newton per metro quadro.

L'oscillazione trasversale si misura sostenendo la freccia nei nodi e facendola vibrare con una bobina da duecento spire su nucleo di ferro, posta a cinque millimetri dalla punta d'acciaio e alimentata con corrente alternata di frequenza controllata al centesimo di hertz; l'ampiezza si legge abbassando una lamina d'acciaio da 25 micrometri su una slitta micrometrica fino al contatto, rilevato elettricamente. La curva di risonanza così ottenuta è stata confrontata con un modello a elementi finiti (COMSOL) e con la formula della trave di Euler e Bernoulli.

La forza di trazione dell'arco è stata misurata tirando la corda a piccoli passi, con una cella di carico piezoelettrica, e fotografando ogni passo con un teleobiettivo da 200 millimetri a dieci metri per ridurre la parallasse: una quindicina di scatti all'andata e altrettanti al ritorno, poi digitalizzati. L'energia immagazzinata e quella restituita sono gli integrali delle due curve. La tensione della corda a riposo viene dalla pendenza della curva al brace height, quella a trazione piena dall'equilibrio dei tre vettori al punto di incocco. La velocità di uscita è la media di dieci misure con un cronografo ottico a due metri dall'arco.

Per il rallentamento non si poteva usare il cronografo a grandi distanze, quindi l'autore misura il tempo fra due rumori, quello della corda e quello dell'impatto, con due microfoni fissi a 4,6 e 36,6 metri e un programma di analisi audio libero: 25 tiri su 7 distanze fra 27,4 e 82,3 metri, con una macchina lanciafrecce al posto dell'arciere. La verifica finale sulla traiettoria è stata fatta spostando il mirino fino a centrare il giallo a varie distanze e convertendo le posizioni del mirino in angoli di lancio, poi confrontati con l'integrazione numerica delle equazioni balistiche.

Un arco e una freccia, non una serie: tutti i numeri valgono per un compound Hoyt Contender con una Easton LSR 500, tirato con uno sgancio meccanico. Niente in questo lavoro riguarda il rilascio con le dita, la torsione dell'arco, i flettenti di un ricurvo o la variabilità di un arciere, perché nelle prove a distanza l'arciere non c'è: tira una macchina.

Diverse quantità non sono misurate ma dedotte. La massa virtuale dell'arco si ricava supponendo che tutta l'energia disponibile finisca nell'energia cinetica di arco e freccia, e l'autore verifica solo che gli altri contributi siano piccoli (0,05 joule allo sgancio della cocca, 0,2-0,3 nella corda, 0,43 nell'oscillazione della freccia, 0,23 nel rinculo, misurato con un accelerometro). Il carico assiale che potrebbe far instabile la freccia è stimato come il 30 per cento della forza di trazione massima, cioè con una proporzione fra massa della punta e massa totale, e da lì nasce la previsione che frecce con spine oltre 800 cedano: è l'estrapolazione di una formula, non una prova di rottura. Anche l'assenza di portanza aerodinamica non è misurata direttamente: si deduce dal fatto che le posizioni del mirino tornano con i calcoli che la escludono.

Dove modello e misura si confrontano, non sempre vanno d'accordo: il modello a elementi finiti dà 85,4 hertz contro i 84,8 misurati, bene, ma la formula della trave uniforme dà 97,2 hertz, cioè il 15 per cento in più, e l'autore lo riconosce pur continuando a usare la formula per i rapporti fra grandezze. Nel calcolo del paradosso dell'arciere, poi, entrano valori diversi da quelli misurati (0,6 metri di lunghezza e 71 metri al secondo invece di 0,696 e 74,5), scelti per comodità del conto. Il coefficiente di resistenza è supposto costante lungo il volo, e la freccia reale ruota e oscilla, cosa che l'autore stesso indica come uno dei punti aperti.

Il documento è un preprint su arXiv del novembre 2015, scritto dichiaratamente per scienziati interessati al tiro con l'arco, e non ha una revisione fra pari. L'autore chiude elencando le cose su cui, a suo parere, si continua a discutere senza dati: lo spine dinamico, il rapporto fra FOC e portanza, l'effetto della non rettilineità di una freccia che ruota e oscilla. Sul FOC segnala che l'intervallo fra 0,07 e 0,17, accettato nell'ambiente, non ha alle spalle prove quantitative.

La parte più utile sta nelle ultime pagine, dove l'autore mette in una formula quanto si sposta il punto d'impatto quando cambia una cosa sola. A 70 metri un errore di 1 metro nella stima della distanza vale circa 7 centimetri in verticale; 1 metro al secondo di velocità in più alza l'impatto di circa 13 centimetri; una variazione del 20 per cento nella resistenza aerodinamica, per esempio per penne diverse o per l'aria di un'altra giornata, vale di nuovo circa 7 centimetri. Sono conti su un compound specifico, ma danno la misura di quanto poco serva per perdere un centro.

Due numeri cambiano il modo di pensare all'attrezzatura. Il primo è l'efficienza: con questa freccia e questo arco il 20 per cento dell'energia disponibile resta nell'arco, e la formula mostra perché una freccia più pesante sia più efficiente e una corda più leggera dia più velocità. Il secondo è il tempo di smorzamento dell'oscillazione, circa 1,5 secondi: più lungo del volo, quindi la freccia entra nel bersaglio ancora piegata e che si raddrizzi "in volo" non si può dare per scontato.

Sullo spine lo studio offre una cosa concreta: la definizione dell'Archery Trade Association è una misura di rigidezza, e l'autore ne dà la conversione, rigidezza e spine sono lo stesso dato in due unità. Su questa asta lo spine misurato (492) coincide quasi con quello dichiarato dal produttore (500). Sul resto il tono resta prudente: lo spine dinamico, per l'autore, è un concetto su cui si discute senza misure, e l'intervallo di FOC che l'ambiente dà per buono non ha prove quantitative alle spalle.

Gli esperimenti sono alla portata di un arciere con un cronografo, una bilancia precisa al centesimo di grammo e un registratore audio: il metodo dei due microfoni, in particolare, misura la velocità media su tutta la distanza senza mettere il cronografo in pericolo. Niente di tutto questo riguarda il gesto o il punteggio di una persona.