Aerodinamica della freccia: studio Higgins 1933

Higgins, ingegnere aeronautico, applica alla freccia i metodi con cui l'aeronautica di allora calcolava la resistenza dell'aria. Parte da un'osservazione: le penne danno alla freccia molta più stabilità del necessario, quindi la freccia resta sempre allineata alla propria traiettoria e la resistenza dell'aria nasce quasi solo dall'attrito sulla superficie, non dalla scia. Su questa base scrive le equazioni del volo e le sostituisce con formule approssimate che si possono risolvere a mano.

Per una freccia media (300 grani, 5/16 di pollice di diametro, 28 pollici di lunghezza, penne da distanza) lanciata a 180 piedi al secondo, circa 55 m/s, il calcolo dà una gittata massima di 652 piedi, circa 199 metri, raggiunta in 6,87 secondi; la freccia arriva a terra a 127 piedi al secondo con un angolo di 53 gradi. Senza aria la stessa freccia arriverebbe a 1.007 piedi. L'angolo migliore è tra 43 e 44 gradi, e allontanarsene di 10 gradi costa solo circa 30 piedi, il 4,5% della gittata. Un cambio del 10% nel diametro, nella lunghezza, nel coefficiente di attrito o nella superficie delle penne sposta la gittata di circa 30 piedi; 5 piedi al secondo in più o in meno alla partenza, una differenza che secondo l'autore può capitare da un tiro all'altro, la spostano di 26 piedi, il 4%.

Il lavoro è solo teorico. La resistenza è calcolata con la formula dell'attrito superficiale usata in aeronautica, con un coefficiente letto su una curva in funzione della velocità e della lunghezza della freccia (circa 0,005 nell'esempio) e con una superficie pari a quella dell'asta moltiplicata per un fattore che tiene conto delle penne: da 1,02 per le alette in celluloide delle frecce da distanza a 1,12-1,27 per le frecce da bersaglio, fino a 1,25-1,50 per quelle da caccia. La resistenza è presa proporzionale al quadrato della velocità.

Le equazioni del moto, scomposte in orizzontale e verticale, non si integrano a mano perché contengono l'angolo della freccia, che cambia in volo. Higgins le ha risolte per via grafica e poi ha cercato formule più semplici che riproducessero quelle curve; i grafici mostrano che le due soluzioni restano vicine lungo tutta la traiettoria e coincidono sulla gittata. Per gli effetti della velocità iniziale e del peso della freccia usa un rendimento dell'arco di 0,60. L'articolo non dice con quale arco, né riporta tiri misurati: il confronto con i dati sperimentali è affidato a una frase e al rimando a un altro articolo.

Tutto poggia sull'ipotesi che la freccia voli perfettamente allineata e che la scia sia trascurabile. Per frecce con penne piccole e ben montate può essere ragionevole; per frecce da caccia o con penne grandi molto meno, e la stessa tabella dei fattori mostra quanto cambia la superficie. I primi metri di volo, quando la freccia si flette e oscilla ancora, non sono considerati, e nemmeno il vento.

Le formule approssimate sono tarate sulla freccia di riferimento e su velocità intorno ai 180 piedi al secondo: fuori da quell'intervallo il loro accordo con la soluzione completa non è dimostrato. L'effetto del peso della freccia dipende da come il peso cambia la velocità di uscita, che l'autore prende da un altro lavoro, e il grafico mostra che oltre un certo punto il vantaggio di una freccia più pesante si inverte, senza che il testo dica dove. La conferma sperimentale è dichiarata, non mostrata.

Per un arciere di oggi, soprattutto se tira a bersaglio alle distanze di gara, lo studio dice poco in modo diretto, ma dà alcuni ordini di grandezza utili. Il primo è che la resistenza dell'aria pesa molto: senza aria la freccia di riferimento andrebbe più lontano di circa la metà (1.007 piedi contro 652). Il secondo è che la velocità di uscita conta più di molti dettagli costruttivi: 5 piedi al secondo, circa 1,5 m/s, spostano la gittata di 26 piedi, quasi quanto un cambio del 10% nel diametro o nella lunghezza della freccia. La tabella dei fattori dà anche un'idea di quanto pesino le penne: su una freccia da bersaglio aumentano la superficie esposta all'aria dal 12 al 27% rispetto all'asta nuda.

Sono numeri calcolati sulla gittata massima, a circa 45 gradi, cioè per il tiro di distanza, non per il punto d'impatto a 70 metri con una traiettoria tesa. Non permettono di dire di quanto cambierebbe un punteggio.