Il tabellone dice quattro a sei e il referto dice centoquarantadue a centotrentasei. L'arciere che ha perso ha messo sul bersaglio sei punti in più dell'avversario, set dopo set ha tirato 30, 27, 28, 30 e 27 contro 26, 28, 29, 25 e 28, e torna a casa eliminato. Non è successo niente di strano e nessuno ha contato male: il sistema ha funzionato esattamente come deve.
Capire perché richiede di guardare come è fatta l'aritmetica di un match, che dal 2010 non è più quella che quasi tutti hanno in testa. Da lì si arriva alle domande che interessano davvero: quanto spesso succede una cosa del genere, se capiti più ai forti o ai deboli, e se il formato faccia quello che la federazione diceva di volere quando lo ha adottato.
I numeri sul formato vengono da un lavoro che ho pubblicato nel Laboratorio, dove il calcolo è svolto per intero e il codice per rifarlo è scaricabile. In fondo all'articolo ci sono anche due domande di tattica che il calcolo non tocca, se convenga tirare per primo o per secondo nel set e se il primo set si tiri più basso degli altri, e per quelle i numeri vengono dai dati di gara.
Come si conta un match a set
La regola è semplice da enunciare: il match si spezza in set da tre frecce; chi in un set totalizza di più si aggiudica due punti-set, e se il set finisce pari se ne prende uno per uno; vince il match il primo arciere che arriva a sei punti-set. Siccome i punti-set si accumulano e non tornano indietro, il match finisce nell'istante esatto in cui uno dei due tocca quota sei, il che può accadere in tre set, in quattro o in cinque, cioè dopo nove, dodici o quindici frecce.
Prima del 2009 si contava in un altro modo, quello che nel ricurvo non si usa più ma che nel compound è ancora in vigore: si sommano tutte le frecce, dodici a testa nel ricurvo di allora e quindici nel compound di oggi, e vince il totale più alto. Sono due modi di leggere esattamente le stesse frecce, e sulla stessa identica gara possono dare due verdetti diversi. Il set system entra nel ricurvo individuale nel 2009 e diventa il formato dell'intero circuito maggiore l'anno dopo, e in quella prima stagione non era ancora uniforme, perché le fasi di eliminazione tiravano set da sei frecce e i set da tre valevano solo dai quarti in avanti.
Le ragioni dichiarate erano tre. Col vecchio sistema una sfida poteva essere di fatto persa dopo una sola volata storta, perché bastava una freccia disastrosa a rendere il totale irrecuperabile, e il formato a set fu adottato per impedirlo, oltre che per premiare la costanza e per tenere il match aperto fino in fondo. Se abbia ottenuto quello che voleva è una domanda a cui si può rispondere con un numero, e ci arrivo fra poco.
Dove finiscono i punti che avanzano
Il meccanismo che produce il referto dell'apertura sta tutto in una proprietà della regola: dentro un set, vincere per un punto vale esattamente quanto vincere per dieci. Il margine viene azzerato al confine del set e non passa oltre, quindi un set vinto 30 a 25 e un set vinto 28 a 27 valgono la stessa cosa, cioè due punti-set.
Quel margine è informazione che il punteggio cumulativo conserva, set dopo set, e che il set system scarta. Quanta se ne butti via si può misurare: nella fascia in cui il formato pesa di più, cioè quando un arciere da 692 punti di media incontra uno da 675, un set vinto lo si vince in media per 1,76 punti, e in oltre metà dei casi per due o più; fra due arcieri identici il margine medio scende a 1,41.
Nella coppia da 692 e 675 il più forte si aggiudica il singolo set il 55,5 per cento delle volte, lo pareggia nel 24,7 e lo perde nel 19,8. Il fatto che un set su quattro finisca pari è più importante di quanto sembri, perché una volata pari distribuisce un punto per uno e quindi non separa nessuno: è un pezzo di match che scorre senza produrre informazione utile a decidere chi sia il più bravo.
Quanto costa contare così
Se il set system sia giusto è una questione che il saggio lascia da parte: la domanda che si pone è quanto spesso il formato indichi l'arciere più preciso dei due, e come si comporti rispetto al vecchio conteggio sulle stesse frecce. La differenza si può calcolare in modo esatto, senza simulare gare, e il risultato è che il formato a set costa qualcosa in precisione, ma poco.
Nel punto in cui i due formati si separano di più, cioè un arciere da 692 contro uno da 675, il punteggio cumulativo indica il più preciso con probabilità 0,870 e il set system con 0,847. Tradotto in match, su cento incontri il cumulativo indovina ottantasette volte e il set system ottantacinque: due match su cento cambiano padrone, uno ogni quarantatré.
Il costo però non è lo stesso a tutti i distacchi, e la forma della curva dice qualcosa che libera l'allenatore da un equivoco diffuso.
| Distacco fra i due arcieri | Costo del set system | Perché |
|---|---|---|
| Arcieri pari | zero | Non c'è un più preciso da riconoscere: nessun formato batte una moneta |
| 2 punti | mezzo punto percentuale | Il divario comincia a essere leggibile, e il formato comincia a perderne un pezzo |
| 5 punti | poco più di uno | Siamo nella fascia dove il margine buttato via pesa di più |
| 17 punti | 2,32 punti percentuali (il massimo) | Il divario è chiaro sulle frecce ma il conteggio a set ne restituisce solo una parte |
| 35 punti | poco più di uno | Il più forte vince quasi ogni set: entrambi i formati lo riconoscono |
| 45 punti | sei decimi | Il divario è talmente ampio che il modo di contare smette di importare |
Lo svantaggio, quindi, non è massimo fra arcieri quasi pari, come si crederebbe, ma nel mezzo. Il motivo, una volta detto, è quasi ovvio: quando due arcieri sono quasi identici nessun formato al mondo può fare meglio del lancio di una moneta, perché la sfida è davvero un testa o croce e risolverla a caso non è un errore di misura; quando invece uno è nettamente più forte, ogni regola lo riconosce senza fatica. Solo nella fascia intermedia la scelta del formato ha qualcosa da perdere.
Conta anche il livello assoluto dei due contendenti, e conta nel verso comodo: il costo di picco vale 1,99 punti percentuali fra arcieri da 700, sale a 2,32 fra arcieri da 692, a 2,63 fra quelli da 680 e a 2,97 fra quelli da 660, per cui fra un match di vertice assoluto e un match di buon livello nazionale il costo del formato passa da due punti scarsi a quasi tre. Più in alto le frecce del modello si stringono attorno al centro, i set si somigliano e la distanza fra le due aritmetiche si assottiglia, il che significa che il formato costa meno proprio dove viene usato di più.
Quei livelli sono punteggi attesi sulle settantadue frecce della qualifica, e un arciere da 692 nel modello mette nel dieci circa sei frecce su dieci. Le frecce dei match reali rendono meno: negli scontri diretti registrati da World Archery fra il 2013 e il 2019, ricurvo e compound insieme, la media nei set è di 9,15 punti a freccia, in linea con i circa nove punti che il registro dà per un arciere di vertice a settanta metri, e anche ai massimi livelli la maggior parte delle frecce di gara non è un dieci. Per questo, quando porto questi conti su un match reale, guardo anche le righe più basse della scala, dove il formato costa un po' di più.
Il match che finisce prima non è il problema
Una spiegazione che si sente spesso attribuisce il costo alla brevità: il match a set può chiudersi in nove frecce invece di quindici, e meno frecce vogliono dire meno informazione. Nella coppia di riferimento la durata media è di 4,268 set, cioè 12,80 frecce invece di 15, quindi qualche freccia in meno si tira davvero.
Il calcolo però smonta questa spiegazione in modo netto, perché se si obbligano i due arcieri a giocare tutti e cinque i set anche quando uno ha già raggiunto quota sei, la probabilità di vittoria non cambia di un millesimo: le due versioni danno lo stesso valore fino all'ultima cifra che il calcolatore sappia scrivere. La ragione è aritmetica: in cinque set si distribuiscono dieci punti-set in tutto, e chi perde non arriva mai oltre i quattro punti-set contro i sei o più di chi vince, per cui le frecce che il set system non fa tirare sono esattamente quelle che non avrebbero potuto cambiare il verdetto.
C'è una seconda prova, che va nella direzione opposta all'intuizione. Se invece di accorciare il match lo si allunga, il divario fra i due formati cresce: con un set solo vale esattamente zero, perché non esiste nessun confine interno da attraversare e le due aritmetiche coincidono; con tre set vale 1,84 punti percentuali, con cinque 2,32, e continua a salire fino a circa sei set prima di ridiscendere, perché a ventuno set entrambi i formati sono ormai quasi infallibili e non resta spazio per una grande differenza. Il costo, in altre parole, nasce dai confini fra un set e l'altro: ogni confine in più butta via altro margine, e solo oltre i sei set circa le frecce aggiunte cominciano a pesare più dei confini.
Quanto spesso vince chi ha totalizzato meno
Un esito come quello del referto dell'apertura si chiama ribaltamento, e la sua frequenza si può calcolare: fra due arcieri di vertice sostanzialmente pari accade nel 7,1 per cento dei match considerando le frecce effettivamente tirate, e nel 7,6 se si immagina di tirarle tutte e quindici, cioè circa un match su quattordici.
La frequenza cambia con il divario, e cambia nel modo che ci si aspetta.
| Situazione | Vince chi ha totalizzato meno |
|---|---|
| Due arcieri di vertice pari | un match su 14 |
| 17 punti di distacco | un match su 21 |
| 25 punti di distacco | un match su 33 |
| 35 punti di distacco | un match su 69 |
| Due arcieri pari da 670 punti | 9,2 per cento dei match |
| Due arcieri pari da 650 punti | oltre il 10 per cento, cioè un match su dieci |
Il fatto da portarsi a casa va esattamente contro l'indignazione che il referto suscita: il ribaltamento è più frequente proprio dove il formato non tradisce nessuno, perché cresce quanto più i due arcieri sono vicini e il suo massimo cade in prossimità della parità, dove il costo in precisione vale zero. Fra due arcieri identici i ribaltamenti sono frequentissimi, uno su quattordici, e nessuno di essi è un errore, perché non c'è un più preciso da tradire e chiunque vinca il verdetto è legittimo. Man mano che il divario si apre i ribaltamenti si diradano, fino a uno su sessantanove.
La ragione è geometrica: il vincitore può aver totalizzato meno solo se i due totali sono abbastanza vicini da potersi scambiare, cosa che succede quando i due arcieri si somigliano. Quando invece uno è molto più forte, il suo totale sta lontano da quello dell'altro e il caso non basta più a farli incrociare.
Il ribaltamento, però, non va confuso con la sorpresa, cioè con la vittoria dell'arciere meno forte, che è un'altra cosa e si guarda sui dati di gara. Che negli scontri diretti le sorprese arrivino quando i due arcieri sono di livello simile è più una conseguenza attesa del formato che un risultato misurato, e nel registro l'affermazione è contestata: nella tappa di Coppa del Mondo studiata vince di solito chi è più in alto in qualifica, e le sorprese si addensano dove il tabellone fa incontrare arcieri vicini in classifica, ma ai Mondiali dello stesso anno, tirati con raffiche di vento fortissime, nel compound molti arcieri di bassa classifica sono arrivati in alto, cioè le sorprese sono venute da arcieri lontani in classifica.
Sei match di fila: che cosa succede a un torneo intero
Un match è un match, ma un tabellone da sessantaquattro arcieri è fatto di sei turni di eliminazione diretta, e per vincere serve superarli tutti. La domanda si può quindi rifare su scala di torneo: quanto spesso il favorito arriva all'oro con un formato e quanto con l'altro, e dove finisce la probabilità che perde per strada.
Su un tabellone a sei turni il verso non cambia mai, in nessuno dei campi di partecipanti costruiti per la prova: il punteggio cumulativo porta il favorito all'oro più spesso del set system, con una differenza che va da 3,3 a 4,3 punti percentuali. In un campo di livello distribuito in modo regolare il favorito vince l'oro il 46,7 per cento delle volte contando a punti e il 42,5 contando a set.
La cosa più utile, però, è il confronto fra quella differenza e un altro fattore: se invece del formato si cambia la composizione del campo, tenendo il numero di partecipanti uguale ma variando quanto sono vicini fra loro, la probabilità d'oro del favorito passa dal 31 al 58 per cento, cioè ventisette punti percentuali contro i quattro dell'aritmetica. Chi c'è in gara pesa quindi più di sei volte il modo in cui si contano i punti, un rapporto che ridimensiona parecchio una discussione aperta dal 2010.
L'ultima domanda, quella che di solito nessuno pone, riguarda dove vadano a finire i quattro punti che il favorito perde passando al set system. Un torneo assegna comunque un oro, quindi quella probabilità deve finire a qualcun altro: nel campo di livello regolare il primo del tabellone ne perde 4,2, il gruppo dalla seconda all'ottava testa di serie ne guadagna 1,9, e il gruppo dalla nona alla trentaduesima ne guadagna 2,3. Il formato a set trasferisce probabilità dal favorito agli outsider, e ne trasferisce di più al gruppo lontano che a quello immediatamente sotto.
La costanza, che il formato doveva premiare
Resta da chiudere il conto con la promessa iniziale, cioè con le prime due cose che la federazione voleva: impedire che una freccia sfortunata decidesse un match, e premiare la costanza. La prima l'ha ottenuta, e i conti lo confermano, perché il formato confina il danno di una freccia dentro il set in cui cade. Sulla seconda i conti dicono l'opposto.
La misura si fa mettendo di fronte due arcieri con lo stesso punteggio atteso, dei quali però uno tira regolare e l'altro ogni tanto piazza una freccia rovinosa. Col punteggio cumulativo il regolare vince il 48,5 per cento dei match; col set system scende al 45,4, e il verso non cambia né al vertice né più in basso. Circa tre punti percentuali di vantaggio passano quindi da chi tira costante a chi ogni tanto sbaglia una freccia, ed è la conseguenza diretta della protezione che il formato offre: isolare la freccia catastrofica nel set in cui cade significa proteggere chi la tira.
Sono conti fatti su arcieri modellizzati, non su gare reali. Il confronto fra il verdetto a set e quello a punteggio cumulativo sugli stessi incontri reali non è stato messo alla prova, e per questo nel registro l'affermazione che il set system premia l'arciere più costante resta non studiata: il calcolo dice che nel modello la premia meno del cumulativo, ma non è una misura sugli atleti.
La stessa proprietà, però, è anche quella che il pubblico apprezza, perché un formato che protegge chi sbaglia produce match più aperti, esiti meno scontati e sorprese più frequenti, che è la terza cosa che la federazione dichiarava di volere. Su quel piano il set system funziona, e funziona esattamente per la ragione per cui misura peggio: sono la stessa proprietà con due nomi diversi, e quale dei due usare non è una questione che un calcolo possa decidere.
Che cosa il conto non guarda
Tutti questi numeri escono da un modello in cui un arciere è la larghezza del suo gruppo e nient'altro, le frecce sono indipendenti l'una dall'altra e la forma della giornata non esiste. Nessun punteggio di arciere reale entra nel calcolo, e gli arcieri sono profili sintetici definiti dal loro punteggio atteso, quindi la conclusione riguarda il formato di gara e non una popolazione di atleti.
Su un punto il modello si è rivelato fragile in modo interessante, e il saggio lo dichiara. Quando si ammette che il cinque per cento delle frecce sia anomalo, estratto cioè da una dispersione tre volte più larga del normale, il costo del set system scende da 2,32 a 0,68 punti percentuali, meno di un terzo. La ragione è che una freccia buttata via fa più danno nel totale cumulativo che nel formato a set, e quindi il vantaggio del cumulativo si riduce proprio quando le frecce anomale esistono davvero. Che anche gli arcieri di vertice mettano qualche freccia lontana dal centro lo trovano quasi tutti gli studi che riportano le singole frecce, ma in uno studio su sette arcieri d'élite indiani, al chiuso a diciotto metri, nessuna freccia è scesa sotto l'otto, e nel registro l'affermazione è contestata; quanto spesso capiti su un round intero nessuno l'ha contato, quindi quale dei due numeri, 2,32 o 0,68, sia più vicino alle gare reali resta aperto.
Su altri fronti il risultato invece tiene bene. Cambiare la forma del gruppo, passando da una dispersione circolare a un'ellisse verticale o spostando il centro di tre centimetri, muove il costo di pochi centesimi di punto percentuale, da 2,32 a 2,34 e 2,36: il verdetto non dipende dalla geometria della nuvola. Addensare il centro invece conta, perché portare la quota di X dal ventidue al trenta per cento a punteggio invariato fa salire il costo da 2,32 a 3,13.
Che cosa farsene, sul campo
La conseguenza pratica più immediata riguarda il lunedì dopo una sconfitta. Se hai perso un match ai set avendo totalizzato più punti dell'avversario, e l'avversario era di livello simile al tuo, quel referto vale poco come diagnosi tecnica, perché descrive la situazione in cui il formato ribalta più spesso e in cui nessun formato saprebbe fare meglio. Rimettere mano alla tecnica sulla base di quel risultato significa correggere qualcosa che potrebbe non essere andato storto.
Il referto diventa informativo quando il divario è ampio, perché lì il ribaltamento è raro: a trentacinque punti di distacco capita in un match su sessantanove, quindi se hai perso ai set contro un arciere molto più debole avendo totalizzato di più, vale la pena capire cosa sia successo nei singoli set. La stessa logica vale a rovescio per chi vince: una vittoria ai set contro un pari livello dice molto meno di quanto sembri sul merito relativo dei due.
C'è infine una conseguenza sulla preparazione, che discende dalle probabilità di set viste prima. Se un quarto delle volate finisce pari e chi vince un set lo vince in media per meno di due punti, molte volate si decidono per un punto: un punto salvato in una volata stretta trasforma una sconfitta in un pareggio, o un pareggio in una vittoria, e sposta un punto-set, mentre tre o quattro punti recuperati in un set perso di cinque non cambiano niente. Per questo nel match a set conta la costanza volata per volata, anche se il formato, come si è visto, premia meno chi è costante sull'intero match.
Tirare per primo o per secondo, e il primo set
Due domande di tattica tornano spesso quando si parla di match a set, e il calcolo del saggio non le tocca, perché i suoi arcieri non sentono pressione e non sanno che cosa ha fatto l'avversario. Per tutte e due esiste un solo studio, fatto però su dati di gara reali.
La prima è l'ordine di tiro dentro il set. Sul campo si sentono due tesi opposte: chi tira per secondo sarebbe avvantaggiato perché conosce già il punteggio dell'avversario, oppure chi tira per primo metterebbe pressione a chi segue. Uno studio sui dati freccia per freccia di World Archery ha preso 6.374 set da tre frecce degli scontri diretti individuali del ricurvo d'élite, da tre Olimpiadi, dai Mondiali del 2021 e da un Gran Premio europeo, con l'ordine perfettamente bilanciato, 3.187 set tirati per primi e 3.187 per secondi. Sul punteggio dell'ultima freccia del set l'ordine non ha nessun effetto misurabile (p = 0,986), anche tenendo conto delle due frecce precedenti e della situazione del match. Nel registro l'affermazione che tirare per primo o per secondo nel set non cambia il punteggio è riportata, con due limiti: lo studio guarda solo la terza freccia, e non separa l'ordine dall'informazione che si porta dietro, cioè il punteggio dell'avversario già sul bersaglio. Nello stesso campione quasi due set su tre, il 64,5 per cento, non decidono il match, quindi i set in cui l'ordine potrebbe pesare di più sono una minoranza. Su questi dati, preparare il match in modo diverso a seconda di chi tira per primo non ha un appoggio.
La seconda è il primo set, che secondo un detto di campo è quello in cui si entra in partita, con il corpo ancora freddo e la tensione dell'inizio. Uno studio sui match di World Archery dal 2013 al 2019 andati allo spareggio ha confrontato ogni arciere con sé stesso, su 3.645 prestazioni di arcieri adulti, per tre quarti del ricurvo e per il resto del compound, dove il match non si tira a set e le cinque volate da tre frecce si sommano. Rispetto al primo set il punteggio sale dello 0,3 per cento nel secondo e di altrettanto nel terzo, dove però la differenza è solo al limite della significatività, mentre nel quarto e nel quinto torna dov'era. Allargando a tutti i match chiusi in cinque set, 19.838 prestazioni, la forma resta la stessa: 9,138 punti a freccia nel primo set, 9,151 e 9,155 nel secondo e nel terzo, 9,145 e 9,122 negli ultimi due.
Nel registro l'affermazione che nel match il primo set si tira un po' più basso del secondo è riportata, e conviene tenere a mente la misura: lo scarto si misura in centesimi di punto a freccia, meno di un decimo di punto su tutto il set, uno scarto piccolo rispetto ai margini con cui un set si vince o si perde. Perché succeda lo studio non lo dice, e il riscaldamento, la tensione dell'inizio o il semplice assestamento sono letture possibili che nessuno ha separato. Per la preparazione questo dato dice poco: non autorizza a mettere in conto il primo set come perso, e non dice se un riscaldamento diverso cambierebbe qualcosa.
Dove finisce questo discorso
Il conto sul formato, però, copre solo una parte del problema, e nemmeno la maggiore. Lo strumento che stabilisce chi incontra chi, cioè il round di qualificazione, porta un'incertezza molto più grande dell'effetto di cui si discute qui. Nelle qualifiche internazionali sul round da settantadue frecce, nel tratto centrale della classifica, una posizione vale meno di un punto, da 0,39 a 0,84 punti secondo la divisione nelle rette di tendenza proiettate ai Mondiali 2019, conti che vengono tutti da uno stesso autore; nel modello di un campo di vertice compatto due vicini di classifica sono separati in media da quattro decimi di punto, e su un divario così settantadue frecce indicano il più bravo 52,9 volte su cento, quasi come una monetina. Ne ho scritto per esteso negli articoli su quanto spesso il primo in qualifica è davvero il più forte e su quanti punti servono per dire che un arciere è più bravo.
Nel saggio ci sono il calcolo completo, la curva del costo distacco per distacco e livello per livello, le prove di robustezza sulla forma della nuvola, il capitolo sui tornei da sessantaquattro arcieri e il pacchetto di codice con cui chiunque può rifare i conti e controllare se i numeri pubblicati sono quelli che il calcolo produce davvero.