Spine dinamico della freccia: studio Fish 2019

Un progetto di corso universitario, pubblicato su arXiv e senza revisione tra pari, che parte da un'obiezione sensata: la misura dello spine prevista dalla norma appende 880 grammi al centro di settantun centimetri di asta e legge la freccia massima, cioè misura una deformazione statica e ignora tutto quello che succede quando la freccia parte. Gli autori costruiscono un banco che fa l'opposto. L'asta è bloccata ai due estremi su una tavola ottica e un attuatore a bobina mobile la scuote al centro con un segnale casuale, mentre l'encoder dentro l'attuatore legge lo spostamento con una risoluzione di dieci micron. Da quel segnale si stima un modello del secondo ordine con tre parametri, cioè guadagno, frequenza propria e smorzamento.

Il banco funziona, nel senso che il modello descrive bene il segnale: la varianza spiegata è il 98,2 per cento con il modello a tre parametri e il 99,4 con quello non parametrico, e aggiungere uno o due zeri non migliora niente. Sette aste, tre materiali: carbonio 300, 500 e 600, alluminio 2219 e 1916, cedro 405 e 520, questi ultimi provati anche girando la venatura.

La frequenza distingue gli spine nel carbonio, 40,3 hertz per il 300 e 34,5 per il 500, e nell'alluminio, 40,8 per il 2219 e 31,6 per il 1916. Il confronto con i valori attesi dai dati di fabbrica, però, tiene solo per il carbonio, dove lo scostamento sta fra meno quattro e più due per cento, mentre sull'alluminio salta: il 2219 era atteso a 31,9 hertz e misura 40,8, cioè il ventotto per cento in più, e il 1916 era atteso a 27,6 e misura 31,6. Il riassunto parla di accordo con i valori dichiarati dai costruttori, e quell'accordo c'è per un materiale su tre.

Due aste vicine si confondono: il carbonio 500 dà 34,5 hertz e 486 newton al metro, il 600 dà 35,3 e 491, cioè l'asta più morbida risulta appena più rigida. Gli autori lo scrivono.

Dentro lo stesso spine la variabilità è grande, dal quattordici al ventidue per cento sulla rigidezza del carbonio, e le conclusioni sono onestissime: può essere la produzione, può essere il modo in cui l'asta viene bloccata ogni volta, possono essere gli errori di stima, e per distinguerli servirebbe una taratura con campioni di rigidezza nota, che era fuori dallo scopo del corso.

Il banco: due morsetti agli estremi su una tavola ottica, un attuatore a bobina mobile BEI Kimco con encoder integrato, ottantanove newton di picco, sei millimetri di corsa e dieci micron di risoluzione, collegato all'asta da un morsetto stampato in tre dimensioni che la circonda del tutto per impedire movimenti laterali e rotazioni. La prima versione, con un altoparlante e un sensore non fissato all'asta, è stata abbandonata proprio perché aggiungeva dinamica fra attuatore e freccia.

L'ingresso è una tensione binaria casuale. La forza non è comandata ma misurata, perché la forza controelettromotrice riduce la corrente effettiva nella bobina: una resistenza di misura in serie legge la corrente, e da quella si ricava la forza che entra nell'identificazione come vettore di ingresso. Un controllo di corrente in anello chiuso, dichiarano gli autori, era fuori dallo scopo. Lo spostamento dell'encoder è l'uscita. Acquisizione con un controllore National Instruments, modulazione a venti kilohertz per evitare l'ondulazione di corrente, ciclo di controllo limitato a quattro kilohertz, filtro a doppio polo con ginocchio intorno ai duemila hertz per togliere il rumore di commutazione.

L'identificazione passa da due strade. Quella non parametrica deconvolve l'autocorrelazione della forza dalla correlazione incrociata fra forza e spostamento con una inversione di matrice di Toeplitz, e usa millecinquecentouno parametri. Quella parametrica adatta un modello del secondo ordine con tre parametri ai minimi quadrati con la minimizzazione non lineare di Levenberg e Marquardt. Sono state provate anche due varianti con uno zero e con una coppia di zeri coniugati, giustificate dalle antirisonanze che il modello di trave di Euler e Bernoulli prevede, senza guadagno apprezzabile di varianza spiegata.

L'analisi di sensibilità è stata fatta: ciascuno dei tre parametri è stato variato tenendo fissi gli altri due, e la varianza spiegata risponde a tutti e tre, quindi nessuno è superfluo.

Dai tre parametri stimati si ricavano poi massa concentrata, coefficiente di smorzamento e rigidezza, riportati in tabella come se fossero tre misure. Non lo sono: sono la stessa terna riscritta, perché la rigidezza viene dal guadagno in continua, la frequenza dalla stima e la massa dal rapporto fra le due. Per questo la verifica che la frequenza torni dalla radice del rapporto fra rigidezza e massa, che in effetti torna su tutte le aste entro tre decimi di hertz, non è un controllo ma un'identità.

L'ultima parte è la fatica: un'asta per materiale, circa seicentomila cicli, poi rimisurata una volta sola, senza intervallo di variazione.

Il limite di fondo è concettuale, e non è discusso nell'articolo. Il banco nasce per superare una prova che non somiglia al tiro, e ne mette al suo posto un'altra che non gli somiglia neppure. Nel tiro l'asta è libera alla punta, spinta alla cocca e sotto una forte compressione longitudinale, che come è noto abbassa la frequenza propria e, oltre una soglia, la porta a zero. Qui l'asta è incastrata ai due estremi e scossa al centro, senza carico longitudinale. Sono tre problemi diversi con tre condizioni ai bordi diverse, e passare dal secondo al terzo non avvicina al primo.

Lo smorzamento è il numero che non regge. Le stime vanno da 0,32 a 0,67. Con uno smorzamento di 0,32 l'ampiezza di un'oscillazione si riduce al dodici per cento in un ciclo, con 0,51 al due e mezzo, con 0,67 a tre millesimi: vuol dire che la vibrazione muore prima di compiere un giro. Le frecce non si comportano così, e lo si sa da misure dirette: un'asta in volo libero continua a flettere per molti cicli, poco meno di uno per ogni metro percorso. Quello che il banco misura non è lo smorzamento dell'asta, è lo smorzamento del banco, cioè i due morsetti, il morsetto centrale stampato e l'attuatore con la sua forza controelettromotrice. Nelle conclusioni si legge che sarebbe interessante valutare come lo smorzamento della freccia influisca sulla prestazione, cioè si propone di costruire sopra un numero che appartiene all'attrezzatura di prova.

Nella stessa direzione va la massa concentrata. L'alluminio 2219 risulta 22,7 grammi, che è circa il peso di tutta l'asta: per una trave incastrata ai due estremi e spinta al centro la massa efficace deve essere una frazione del totale, non il totale. Il numero include quasi certamente la parte mobile dell'attuatore e il morsetto, e dell'eventuale sottrazione di quelle masse non si legge niente.

Il confronto con i dati di fabbrica va letto con attenzione. Il riassunto dice che le stime concordano con i valori di spine dichiarati dai costruttori, ma la tabella di riferimento non contiene valori dei costruttori: contiene frequenze che gli autori hanno calcolato convertendo lo spine di fabbrica con un modello a parametri concentrati, cioè una loro previsione. Rispetto a quella previsione il carbonio torna entro il quattro per cento e l'alluminio no, con il ventotto per cento di scarto sul 2219 e il quattordici sul 1916. Questo scarto non è commentato, e nel confronto misurato l'alluminio 2219 risulta perfino più rigido del carbonio 300, mentre nella previsione stava otto hertz sotto.

Il risultato sulla fatica, infine, è presentato come un'assenza di effetto e i numeri dicono un'altra cosa. Dopo seicentomila cicli tutte e quattro le aste provate risultano più rigide, da più quattordici per cento nel cedro 405 verticale a più cinquantadue nel carbonio 500, e tutte e quattro hanno una frequenza più alta. Lo smorzamento dell'alluminio 2219 passa da 0,67 a 0,35, cioè si dimezza. L'articolo chiama tutto questo un cambiamento lieve e aggiunge che il campione è piccolo, ma un aumento sistematico di rigidezza nella stessa direzione su quattro specimen su quattro non assomiglia a un effetto nullo e non assomiglia alla fatica, che non irrigidisce un'asta. Assomiglia a una differenza di montaggio fra le due sessioni, cioè proprio alla seconda delle tre cause che gli autori indicano per la variabilità entro lo stesso spine. Letto così, il dato misura la riproducibilità del banco e non la vita dell'asta. Si aggiunga che la misura dopo fatica è una sola, senza intervallo, confrontata con una media che ne aveva uno.

Qualche dettaglio più piccolo. La variabilità dichiarata in tabella è un intervallo fra minimo e massimo, non una deviazione standard, e su due righe scende a mezzo punto percentuale, 4,3 newton al metro su 891,6 nel cedro 405 verticale, contro il quattordici per cento della stessa asta girata di novanta gradi: una differenza di trenta volte nella dispersione della stessa misura sulla stessa asta è un altro indizio sul banco. La stima di vita, dieci cicli per tiro e trenta tiri al giorno, dà cinque anni e mezzo, ma trenta frecce al giorno sono poche per chi tira da bersaglio: a centocinquanta diventa un anno. E non c'è nessuna misura sul bersaglio: che una flessione eccessiva o insufficiente danneggi il gruppo è scritto nell'introduzione come premessa.

Resta, questo sì, che il lavoro dichiara con precisione i propri confini: nessun controllo di corrente in anello chiuso, nessuna taratura con campioni di rigidezza nota, campione troppo piccolo per generalizzare. Non è un articolo che si vende per più di quello che è.

Per scegliere delle frecce questo lavoro non serve, e non pretende di servire. Serve per due cose, una delle quali vale davvero.

Quella che vale: dentro lo stesso spine nominale la rigidezza misurata cambia molto. Nel carbonio 300 va da 853,6 newton al metro con un intervallo di 175,3, cioè il ventuno per cento, nel carbonio 600 il ventidue, nell'alluminio 1916 il diciannove. Anche se una parte di quella dispersione viene dal banco, e gli autori dicono di non poterla separare, il messaggio pratico per chi vuole un set omogeneo non cambia: lo spine stampato sull'asta è una categoria, non una misura dell'asta che hai in mano. Pesare le frecce e leggere il numero sul tubo lascia fuori una variabile.

L'altra: due spine vicini possono essere indistinguibili. Il carbonio 500 e il 600 di questa prova danno 486 e 491 newton al metro, cioè l'asta nominalmente più morbida risulta appena più rigida. Fra misure contigue il salto nominale può sparire dentro la variabilità reale.

Quello che non va portato a casa sono i numeri di smorzamento. Vanno da 0,32 a 0,67, e con valori così una vibrazione si spegne in meno di un giro, mentre un'asta in volo flette per molti metri. Quei numeri descrivono il banco, con i suoi morsetti e il suo attuatore, non la freccia: chi cercasse qui una guida per scegliere aste a smorzamento alto o basso non la troverebbe.

E non va portato a casa il risultato sulla fatica. Letteralmente dice che dopo seicentomila cicli non cambia niente, e per l'arciere sarebbe una buona notizia, cioè che un'asta si rompe per usura o per un urto molto prima che per fatica ciclica. La notizia può essere giusta, ma non viene da questi dati: le quattro aste provate risultano tutte più rigide di prima, da più quattordici a più cinquantadue per cento, che è il segno di un rimontaggio diverso, non di un'assenza di effetto.

Il valore di questo lavoro, per chi legge un registro di evidenze, è di avere misurato una cosa che gli altri danno per scontata, cioè quanto si somigliano due aste dello stesso modello, e di avere detto con chiarezza che per rispondere servirebbe un banco tarato. È una domanda aperta messa bene, non una risposta.