Sul tavolo dei giudici ci sono due cartellini con lo stesso totale. Gli arcieri hanno tirato lo stesso numero di frecce, hanno chiuso con lo stesso numero scritto in fondo alla colonna, e il regolamento deve comunque metterne uno davanti all'altro. La risposta che tutti conoscono sta nella riga sotto: si contano i dieci, e chi ne ha di più va davanti.
È un criterio vecchio quanto i cartellini e sembra il più ragionevole che si possa immaginare. Guardando tutti i match, infatti, l'intuizione regge: chi fa più dieci è di solito il più bravo. Il criterio però non si usa su tutti i match, si usa solo dopo una parità, e lì le cose cambiano: quando i due totali sono identici, contare i dieci manda avanti l'arciere meno bravo più spesso del più bravo, cinquantacinque volte su cento nella coppia di arcieri che ho preso come riferimento.
Il conto viene da un lavoro che ho pubblicato nel Laboratorio, dove è svolto per intero, in forma esatta e non simulata, e dove dichiaro anche di aver messo per iscritto la previsione opposta prima di fare il calcolo.
Dove il regolamento conta i dieci
Conviene prima delimitare il campo, perché il criterio ha una fama molto più larga del suo impiego effettivo. Nel regolamento internazionale in vigore, il Book 3 nella versione del marzo 2026, il conteggio dei dieci compare in un posto solo: le parità ordinarie della classifica di qualificazione, dove si guardano prima gli X e poi, se anche quelli pareggiano, i dieci.
Nei match a eliminazione diretta non entra affatto. A cinque pari il regolamento chiede la freccia di spareggio, e nemmeno per le parità che decidono l'accesso alle eliminatorie si va a contare gli anelli. Quello che segue riguarda quindi una regola con un solo impiego formale, ma con un impiego informale molto più ampio: è il modo in cui chiunque, sugli spalti o davanti a un referto, decide quale dei due abbia tirato meglio.
Per capire il resto serve un'ultima nota di geometria: la visuale usata a settanta metri misura 122 centimetri di diametro ed è divisa in dieci anelli della stessa larghezza, 6,1 centimetri l'uno. Dentro il dieci c'è un cerchio più piccolo, di circa tre centimetri di raggio, chiamato X: vale dieci punti come il resto dell'anello, ma si conta a parte proprio per rompere le parità.
Perché sembra il criterio più giusto
L'intuizione dietro il conteggio dei dieci è fondata, e si può verificare. Se si prendono due arcieri di livello diverso, per esempio uno che vale in media 690 punti su settecentoventi e uno che ne vale 680, e si guardano tutti i match che giocano fra loro, il quadro è esattamente quello che ci si aspetta: il più bravo fa più dieci e butta via meno frecce.
| Su quindici frecce di match | Arciere da 690 | Arciere da 680 |
|---|---|---|
| Dieci, guardando tutti i match | 9,110 | 7,588 |
| Frecce da 8 o meno, tutti i match | 0,357 | 0,894 |
| Dieci, solo dove i totali pareggiano | 8,343 | 8,495 |
| Frecce da 8 o meno, solo totali pari | 0,443 | 0,587 |
Le prime due righe confermano l'intuizione: nove dieci contro sette e mezzo, e meno della metà delle frecce buttate via. Chi guarda un referto e conta i dieci sta usando un indicatore che, su una popolazione qualunque di match, nel modello indica il più bravo 71,1 volte su cento.
Le ultime due righe sono la stessa misura fatta sullo stesso modello, con una sola differenza: si guardano soltanto i match in cui i due totali sono venuti uguali. Lì il più bravo fa 8,343 dieci e il meno bravo 8,495, cioè il segno si inverte. La differenza fra i due passa da più 1,52 a meno 0,15, e quello scarto non viene dal rumore della simulazione, dato che il calcolo è esatto.
Che cosa succede guardando solo dove serve
Il fenomeno appena visto ha una causa generale, e conviene spiegarla prima dei numeri perché riguarda qualunque regola di parità e non solo questa. Una parità è il risultato di un filtro: fra tutti i referti restano proprio quelli in cui i punteggi non hanno saputo separare i due arcieri, per cui non si tratta di una circostanza neutra che capita per caso a un match qualunque. Misurare una regola su tutti i match e poi applicarla solo alle parità significa promettere una prestazione che nelle parità non si ritrova.
Il saggio misura questo scarto per cinque criteri diversi, confrontando quanto ciascuno indovina su tutti i match con quanto indovina sui soli match finiti cinque pari.
| Criterio | Su tutti i match | Sui soli cinque pari |
|---|---|---|
| Somma dei quadrati delle distanze dal centro | 77,8 | 68,8 |
| Distanza media dal centro | 76,9 | 67,1 |
| Conteggio pesato degli anelli | 75,1 | 62,7 |
| Punteggio totale del match | 74,3 | 60,5 |
| Conteggio dei dieci | 71,1 | 53,6 |
Com'era prevedibile, tutte le regole perdono qualcosa: quelle che leggono le distanze perdono circa un terzo del proprio vantaggio sulla monetina, quelle che leggono gli anelli ne perdono circa la metà, e il conteggio dei dieci ne perde cinque sesti. Da 71,1 scende a 53,6, cioè indovina appena 3,6 volte su cento più di quanto indovinerebbe una moneta lanciata. Fra tutti i criteri esaminati è quello che soffre di più il passaggio alla popolazione in cui viene davvero impiegato.
Il ribaltamento
Il 53,6 della tabella riguarda tutti i match finiti cinque pari, compresi quelli in cui i totali delle quindici frecce sono diversi e il criterio ha quindi qualche appiglio. Restringendo ancora, e guardando soltanto i referti in cui anche i totali sono identici, il numero scende sotto la soglia della moneta: sulla coppia di riferimento il conteggio dei dieci manda avanti il più bravo 44,7 volte su cento, il che significa che ne manda avanti il meno bravo cinquantacinque.
La prima reazione ragionevole è chiedersi se dipenda da quella particolare coppia di arcieri. Il saggio calcola la stessa quantità su otto coppie distribuite lungo tutta la scala, dai due che valgono 700 e 695 punti fino ai due che ne valgono 640 e 600, e la risposta è che sta sotto cinquanta dappertutto.
Sulla coppia più stretta, due arcieri che valgono 700 e 695, il criterio arriva a 48,70 e resta quindi appena sotto il lancio di una moneta. Scendendo di livello peggiora, e nella riga più larga, quella fra un arciere da 640 e uno da 600, si ferma a 36,57, il che vuol dire mandare a casa il più bravo sessantatré volte su cento. Aggiungere gli X come secondo criterio dopo i dieci non ripara il difetto: con i due criteri applicati in sequenza si resta sotto cinquanta su sette coppie su otto, e solo sulla più stretta, 700 e 695, si sale appena sopra, a 52,19.
La spiegazione è aritmetica
Il motivo del ribaltamento si capisce meglio con un cartellino in mano che con una formula. Due arcieri hanno tirato quindici frecce a testa e hanno chiuso entrambi a centoquaranta punti. Il primo ha fatto undici dieci, quindi centodieci punti, e gli restano trenta punti da distribuire su quattro frecce, che fa una media di sette e mezzo. Il secondo ha fatto nove dieci, cioè novanta punti, e gli restano cinquanta punti su sei frecce, che fa una media di otto e un terzo.
Il primo ha due dieci in più e il regolamento lo manda avanti. Guardando le altre frecce, però, il primo ha qualcosa che il secondo non ha, cioè un paio di tiri decisamente brutti, e sono proprio quei tiri ad avergli lasciato spazio per i dieci in più senza sforare il totale. A totale fissato, ogni dieci in più va restituito da qualche altra parte, e la restituzione avviene sulle frecce basse.
Nel modello questo legame è quasi ferreo: sulla coppia di riferimento, e sui soli referti con i totali in parità, la differenza di dieci fra i due arcieri e la differenza di frecce buttate via hanno una correlazione di 0,9898, che scende soltanto a 0,9488 su una coppia molto più larga, fra un arciere da 680 e uno da 660. Enunciato con precisione, il risultato è questo: a totale fissato, il conteggio dei dieci misura chi ha concentrato il proprio deficit su meno frecce, e non chi ha tirato meglio.
Il legame, però, non è una necessità aritmetica assoluta, perché a tavolino si possono costruire cartellini in cui più dieci convivono con meno frecce buttate via. Il saggio riporta esplicitamente il controesempio e lo dichiara: si tratta di una proprietà regolare del modo in cui gli arcieri distribuiscono gli errori, e non di un teorema. Quella regolarità, comunque, tiene su tutta la griglia di coppie che è stata provata.
Perché la cosa è seria
Un criterio che funziona in generale e si inverte in un caso particolare sarebbe già un difetto. Qui la situazione è peggiore, perché il caso particolare in cui si inverte coincide esattamente con l'unico caso in cui il criterio viene consultato. Nessuno conta i dieci di due arcieri che hanno chiuso con totali diversi: si contano i dieci solo dopo una parità, cioè solo dopo che si è verificata la condizione che rovescia il segno della misura.
C'è poi un possibile equivoco da togliere di mezzo: si potrebbe pensare che il fenomeno dipenda dal cinque pari, cioè da quella particolare forma di parità prodotta dal formato a set. Il saggio rifà allora il calcolo chiedendo soltanto che i due totali delle quindici frecce coincidano, senza alcun vincolo sui set, e il ribaltamento regge su tutta la griglia, con scarti fra i due e i sette decimi rispetto ai valori precedenti. La causa, quindi, sta nel pareggio dei totali e non nel modo in cui ci si arriva.
Quanto vale davvero un dieci
Resta da capire perché, fra tutti i modi di leggere un referto, quello tradizionale sia il più fragile. La risposta il saggio la costruisce chiedendosi quanto ciascun anello dovrebbe pesare per distinguere al meglio due arcieri, e confrontando quei pesi con i punti che il regolamento assegna. Riscalati sulla stessa scala da zero a dieci, i pesi che gli anelli meriterebbero risultano fortemente concavi: l'anello 1 meriterebbe 1,9 invece di 1, il 2 ne meriterebbe 3,6 invece di 2, il 5 ne meriterebbe 7,4, e il 9 ne meriterebbe 9,9.
La conseguenza si legge nei salti da un anello all'altro: passare da una freccia fuori bersaglio a una freccia nell'anello 1 vale 1,9 di informazione; passare da un nove a un dieci ne vale 0,15. Sapere che un arciere ha mandato una freccia fuori dove l'altro ha fatto 1 dice sulla differenza fra i due dodici volte e mezza più di quanto dica sapere che uno ha fatto dieci dove l'altro ha fatto nove.
I conteggi di gara danno a questo ragionamento la sua base di frequenza. Nel registro l'affermazione che anche ai massimi livelli la maggior parte delle frecce non è un dieci è corroborata da tre campioni indipendenti. Nelle qualificazioni delle gare professionistiche cinesi finisce nel dieci il 20,7 per cento delle frecce. In otto arcieri francesi di alto livello, 549 frecce a settanta metri, la quota sale al 30,2 per cento, e le frecce da otto o meno sono quasi altrettante, il 29,7. Negli scontri diretti dei Giochi, del Mondiale e del Gran Premio europeo, su 6.374 set, le prime due frecce del set sono entrambe dieci solo nel 13 per cento dei casi, mentre in quasi la metà nessuna delle due lo è. Il conteggio dei dieci guarda quindi una sola linea del bersaglio, quella fra il nove e il dieci, e dall'altra parte di quella linea, anche al vertice, sta la maggior parte delle frecce: il nove e il sei valgono allo stesso modo, come frecce che non sono dieci, eppure secondo i pesi del saggio differenze come quella dicono molto più del salto fra il nove e il dieci.
Il modello, sulla coppia di riferimento, è più generoso con i dieci, più di nove su quindici per l'arciere da 690, perché descrive arcieri di livello internazionale e tiri senza vento. Scendendo di livello, cioè verso arcieri che fanno meno dieci, la griglia del saggio mostra un ribaltamento in generale più marcato, non più debole.
Il conteggio dei dieci mette tutto il proprio peso sul salto meno informativo di tutti, quello fra il nove e il dieci, e per questo sta in fondo alla graduatoria. Quanto sia determinante la scelta del punto in cui si taglia lo mostra un confronto diretto: con la freccia di spareggio in coda, contare le frecce sotto il nove indovina 62,4 volte su cento parità, contare quelle sotto il dieci ne indovina 55,9. Le due regole sono identiche tranne che per un anello di spostamento, eppure la prima indovina sei volte e mezza su cento più della seconda.
Il conteggio delle frecce brutte ha anche un pregio pratico: fra le regole migliori è la più facile da verificare dagli spalti, perché basta contare sul referto le frecce sotto il nove. Da solo, senza la freccia di spareggio in coda, indovina 59,3 volte su cento parità.
L'anello X è un caso diverso
La domanda successiva riguarda l'altro criterio in uso, cioè il conteggio degli X, che nel regolamento viene prima dei dieci. L'X sfugge al vincolo aritmetico per una ragione strutturale: è una suddivisione interna al dieci, quindi passare da un dieci normale a un X non cambia il totale e non richiede nessuna restituzione altrove. Sui referti con i totali in parità continua infatti a stare sopra la monetina nelle coppie di vertice, con 53,9 sui due arcieri da 700 e 695, 53,1 sulla coppia di riferimento e 54,3 su quella da 690 e 670.
Il vantaggio, però, dipende da quanto l'anello X sia grande rispetto al gruppo di frecce dell'arciere, e scendendo di livello il gruppo si allarga, come riportano anche i confronti fra arcieri di livello diverso. Il saggio individua il punto in cui il rapporto fra i due si rovescia intorno a 670 punti su settecentoventi: sopra quel livello l'X porta informazione, sotto si inverte come il conteggio dei dieci. La stessa identica regola, applicata a una gara nazionale invece che a una finale mondiale, cambia segno senza che il testo del regolamento cambi di una virgola.
Che cosa succede nella classifica di qualificazione
Arriviamo al posto in cui il criterio viene formalmente usato, cioè le parità della classifica di qualificazione, e qui serve una precisazione che il saggio stesso mette in evidenza. Tutte le cifre del ribaltamento sono calcolate su referti di match da quindici frecce a testa, non su round da settantadue frecce, e non vanno trasportate di peso da una popolazione all'altra.
Sulla classifica è stata misurata direttamente un'altra cosa, con centoventimila qualificazioni simulate di sessantaquattro arcieri fra 690 e 665 punti, a settantadue frecce a testa. In una classifica in cui i pari merito vengono sorteggiati, il primo classificato è davvero il migliore del campo nel 14,0 per cento dei casi; aggiungendo il conteggio degli X si sale al 14,2; aggiungendo anche il conteggio dei dieci, cioè applicando la regola di oggi per intero, si resta al 14,2. Con un errore standard di un decimo di punto, gli X valgono due decimi e i dieci non valgono niente.
Lo stesso vale per le altre colonne della stessa misura: l'errore medio di posizione passa da 8,62 posti a 8,60 con gli X e risale a 8,61 con i dieci, cioè resta fermo. Ordinando invece la qualificazione per somma dei quadrati delle distanze dal centro, quindi usando l'informazione che le corone buttano via ogni volta che arrotondano, l'errore medio scende a 7,70 posti e la quota di qualificazioni in cui i primi otto sono esattamente gli otto migliori passa dallo 0,04 allo 0,09 per cento: più del doppio, ma resta un evento rarissimo.
Va detto con precisione, perché nel saggio le due cose stanno in capitoli diversi. Nel capitolo sul ribaltamento scrivo che colpirebbe il conteggio dei dieci ovunque lo si usi per rompere una parità di totale, e quindi anche in classifica; la misura fatta sulla classifica dice qualcosa di meno netto, cioè che lì gli X e i dieci non fanno danno come nel match e semplicemente non aggiungono informazione. Fra le due formulazioni tengo quella misurata: in classifica il conteggio dei dieci non aggiunge nulla.
Come si legge un cartellino in parità
Per chi guarda un referto e vuole capire chi abbia tirato meglio, la gerarchia che esce da tutto questo è chiara e usa solo dati già scritti sul foglio. Il primo posto dove guardare è il totale delle quindici frecce, che dopo un cinque pari resta identico in circa un terzo dei casi e negli altri due terzi dice qualcosa.
| Margine sul totale delle 15 frecce | Quanto spesso capita | Quanto spesso indica il più bravo |
|---|---|---|
| Nessun margine, totali pari | 34,4% | 50,48, cioè non decide |
| 1 punto | 40,8% | 60,8 |
| 2 punti | 17,4% | 71,3 |
| 3 punti | 5,6% | 80,7 |
| 4 punti | 1,5% | 87,8 |
| 5 punti o più | 0,4% | 93,4 |
Un solo punto di margine, che è il caso più frequente di tutti, porta già al 60,8 per cento; due punti al 71,3; tre all'80,7. Quel numero è già scritto in fondo alla colonna del cartellino e non richiede nessuna misura aggiuntiva, il che rende difficile spiegare perché nel match non venga mai consultato.
Il secondo posto dove guardare sono le frecce brutte, contando quante ne ha tirate ciascuno sotto il nove. Il terzo, cioè il conteggio dei dieci, è l'unico dei tre che nel modello, nel momento esatto in cui lo si consulta, indica più spesso il meno bravo. La proposta che il saggio ricava da tutto questo è di toglierlo dai criteri di parità invece di riordinarlo, perché nessun riordino ripara un segno invertito.
Per l'arciere che rilegge una sconfitta la traduzione è meno tecnica: se hai chiuso il match con lo stesso totale dell'avversario e hai fatto più dieci di lui, quei dieci non dicono che hai tirato meglio, dicono piuttosto che i tuoi errori erano concentrati in due o tre frecce invece che distribuiti su molte. Il lavoro da fare, in quel caso, sta sulle frecce peggiori e non su quelle buone, il che è esattamente il contrario di quello che il conteggio suggerisce.
Le cautele e l'argomento contrario
Tutto quello che ho scritto finora vale sotto il modello di dispersione adottato nel volume, e la dipendenza da quel modello è più forte qui che altrove. È uno studio di modello e non uno studio empirico, nessun dato di gara reale è stato usato, e i punteggi di partenza sono un'assunzione dichiarata.
La verifica che conta è quella che il saggio mette in appendice e che chiama, senza giri di parole, l'argomento di chi difende la regola tradizionale. Se una piccola quota di frecce esce dal comportamento regolare del gruppo, cioè se ogni tanto un arciere tira un colpo anomalo per ragioni che il modello non descrive, il conteggio dei dieci torna informativo. Con tre frecce anomale su cento risale a 52,44, quindi sopra la monetina; con cinque su cento arriva a 55,54; con dieci su cento arriva a 63,85 e diventa un buon criterio.
Il modello di base, del resto, con queste frecce è severissimo: per un arciere da 690 punti colloca una freccia sotto il sette una volta su tre milioni. Nei dati raccolti nel registro, invece, quasi tutti gli studi che riportano le singole frecce di arcieri di alto livello trovano qualche freccia lontana dal centro. In quattro arcieri d'élite australiani, a 30 metri sulla visuale da 60 centimetri, 31 frecce su 240 hanno fatto fra 5 e 7 punti e sono state classificate cattive anche sul giudizio di arciere e allenatore; in sette juniores che avevano tirato ai Mondiali juniores, al chiuso a 30 metri, i più deboli sono scesi fino al 5 e al 6; negli scontri diretti registrati da World Archery fra il 2013 e il 2019 il punteggio più basso su una freccia di spareggio è 1. Nel registro l'affermazione resta però contestata, perché sette arcieri d'élite indiani, su 210 frecce a 18 metri al chiuso, non sono mai scesi sotto l'8; e quanto spesso capiti su round interi nessuno l'ha contato.
Quei conteggi, inoltre, sono fatti sugli anelli, a distanze e su visuali diverse, e su arcieri che non valgono tutti 690 punti. Mostrano frecce lontane dal centro in arcieri di alto livello, ma non dicono quante di quelle frecce stiano fuori dal comportamento regolare del gruppo e quante siano soltanto la parte larga di un gruppo regolare. È proprio la quantità che deciderebbe la questione, e il saggio dichiara di non poterla stimare: servirebbero le coordinate degli impatti, perché dagli anelli soli la frequenza e la gravità si confondono fra loro. Chi difende il criterio storico ha quindi un argomento reale, in parte appoggiato dai dati sugli arcieri, e la discussione si sposta su un numero che i referti a punteggio non contengono.
Anche il vento lavora nella stessa direzione delle frecce anomale, ma con meno forza: porta il valore della coppia di riferimento da 44,66 a 47,27 con sei centimetri di errore da vento e a 48,84 con dieci, e in nessuno dei due casi il criterio arriva alla monetina. Altre deviazioni dal modello vanno invece nel verso opposto: un gruppo scentrato, per esempio, sulla coppia da 700 e 690 punti porta il conteggio dei dieci da 46,80 a 41,76, cioè approfondisce il ribaltamento invece di ritirarlo.
Dove finisce questo discorso
La strada che porterebbe davvero fuori dal problema passa dal tipo di dato che si registra, e non da un criterio migliore fra quelli disponibili. Ordinando per somma dei quadrati delle distanze dal centro, cioè segnando dove la freccia ha colpito invece del solo anello, si indovina 68,8 volte su cento parità, molto più di qualunque regola basata sugli anelli, e la precisione necessaria per farlo è di tre millimetri. Il costo di una strumentazione del genere il saggio dichiara di non saperlo stimare.
Il volume da cui viene questo capitolo continua poi su un piano più largo, dove misura le strutture di tabellone, i formati di match e le graduatorie di stagione, e dove ricostruisce quanto ciascuna scelta di regolamento costi e quanto renda. Il pezzo che riguarda la parità nei match l'ho raccontato in quanto spesso un match finisce cinque pari, e quello che riguarda il piazzamento in quanto vale davvero la classifica di qualificazione.
Da questo capitolo resta una cosa sola, che riguarda tanto il regolamento quanto il modo in cui ciascuno legge il proprio cartellino: due arcieri che hanno chiuso con lo stesso totale possono aver tirato in modo molto diverso, e il foglio lo dice a chi guarda la casella giusta, che non è quella dei dieci.